变分原理在弹塑性力学中的应用

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1、变分原理在弹塑性力学中的应用摘要：本文简单介绍了泛函的变分原理，并利用变分原理推导弹塑性力学中的虚位移原理和最小总势能原理，并举例说明最小总势能原理的应用。最后引入了对上述变分方程的直接解法一里茨法，并举例说明里茨法的应用。关键字：泛函，变分原理，虚位移原理，最小总势能原理，里茨法Abstract：Thispaperbrieflyintroducesthefunctionalvariationalprinciple，withthehelpofwhich，thevirtualdisplacementprincipl

2、eandtheminimumtotalpotentialenergyprinciplearededuced.Andtheapplicationoftheprincipleofminimumtotalpotentialenergyisillustrated.Finallythepaperintroducesthedirectsolutiontothevariationalequation一theRitzmethodandillustratestheapplicationoftheRitzmethod.Keyword

3、：Functional，Thevariationalprinciple，Thevirtualdisplacementprinciple,theminimumtotalpotentialenergyprinciple,TheRitzmethod1泛函和变分原理求解弹塑性力学fu］题，即在给定的全部边界或内部的外界作用下，求解物体内产生的应力场和位移场，最终归结为求解偏微分方程的在某种边界条件下的问题，似是在求解这些偏微分方程的解是极M困难的。故引入变分原理［1］及近似解法去求解弹槊性力学问题。把一个力学问题用变分法

4、⑴化为求泛函极位(或驻位)的问题，就称为该物理问题的变分原理。屮，泛函就是定义域是一个函数集，而位域是实数集或者实数集的一个了集,推广丌来，泛函就是从任意的h'd堡空闽到标朵的映射。也就是说，它是从函数空W到数域的映射。泛函也是-•种“函数”，它的独立变足•-•般不足通常函数的“自变M”，而是通常函数本身。所以简单来说，泛函是函数的函数。其巾，在平而且角叱标系巾，两点间的曲线长度就是典型的变分问题，即在连接两点间的所有曲线中，存在这样的曲线，使得两点间的连线长度最短。例如用数学公式去描述变分原理：假设有如下形式的

5、泛函：V=J:F(x,y,y')dx(l-l)其中，y(x)是自变函数，x是A变量。由于泛函収变分的収极值的必要条件是其一阶变分等于零，因此对上式(1-1)进行变分,并令SV=0,可得：ftddFdxdy7物)dx去蒜hdx+芸⑽△=0由于办为独立变量，因此上成(1-2)力零的充要条件为：g-£^=°(在m上)⑽c)F^7=0(x=a，Z?)(l-4)这样便将泛函的驻值问题转化成了微分方程的边值问题了。力C=0叫作泛W的欧拉方程。2虚位移原理和最小总势能原理在变分原理的菽础h,就可以利川能虽原理(即热力学第一定律

6、)去建立虚位移原理12J的位移变分方程了。现考虑一个受一组体力的(分虽为尽，么，尽)和iM力扒(分虽为么，py,pz)作用下而处于平衡状态的物体，其体积为V，表側积为s。则在体积内冇：(用张量表示)Ajj+F^=0(ij=x,y,z)(2-1)设S为物体的全部表而，其中给定l&i力的部分表而为给定位移的部分表为则全部表l&fS应为^和^之和。则边界条件为：(用张量表示)^ijrtj=Pi(2-2)现在设想一个处于平衡状态的物体，由于某种原因，由艽平衡状态位置得到一个约束许可的、任意的、微小虚位移其分虽力5u，Sv

7、，5o)。虚位移不是其他随便一种位移函数，在边界处需满足边界位移条件，即叫/su=0，也满疋几何条件~+加#)。实际的力系在虚位移上做的功叫做虚功。根据以上假设，可得出在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体的微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚极变能。虚位移原理的推异表达式如下：外力的总虚功SW为实际的体力•和血力朽在虚位移上所做的功，即SW=fff。F^Su.dV+PiSUidS(2-3)物体产生微小变形的过程屮，该物体内的总虚应变能为：5U=

8、2-5)fffvS^ijdV=fffvFbiSuidV+ptSUidS即6U=6W(2-6)因而有:其证明如下：根据A给定而力部分表而心上，边界条件Pi=(^^成立，灯Pi^Uids=((TijSu^njdS岛斯散度定jfjjd^ijSu^dVffjy+(TijSu^dV(2-7)故有6W=瓜F^SuidV4-PiSuids=1F^SuidV4-I^Sui+aijSu^d