变分与弹塑性力学PPT4.ppt

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1、第三章材料非线性有限元分析1非线性弹性问题的有限单元法2弹塑性问题的有限单元法2000.41哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1非线性弹性问题的有限单元法前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此象线性问题一样，设位移和应变分别为则全量形式的应力为增量形式的应力为2000.42哈尔滨建筑大学王焕定教授制作同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为进行先处理（定位向量）集成，可得与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用第一章介绍的方法来求解。1）切线刚度法——牛顿法集成非线性方程用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为(这里认为

2、)2000.43哈尔滨建筑大学王焕定教授制作经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为式中Rn是应力σn引起的结点力，因此其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这里不再赘述。(P.22)因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。表示集成2000.44哈尔滨建筑大学王焕定教授制作5)由式（3．6）进行迭代，直到满足精度要求。从此可得切线刚度法的计算步骤为：1）设=，求线弹性解；2）由求各单元的应变、应力；3）从计算单元切线刚度矩阵并集

3、装；4）计算并集装；2000.45哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2）应力转移、初应力法——修正牛顿法为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因为初始切线刚度矩阵，故表示集成2000.46哈尔滨建筑大学王焕定教授制作式中是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得因为非线性应力所以若将视作“初应力”，并记则

4、表示集成它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）。因此也称初应力法。2000.47哈尔滨建筑大学王焕定教授制作4）由(3．8)求，反复迭代，直到足够小。从讲义式（3．8）可得初应力法的计算步骤为：1）由集装初始切线刚度矩阵；2）由求线弹性的解；3）由计算各单元的，并集装；2000.48哈尔滨建筑大学王焕定教授制作又设第n步单元非线性应力对应的弹性应变为则非线性的应变可表为残余(初)应变式中也可视作“初应变”，由上式可得因此单元刚度方程为有些问题的本构关系是用应力表示应变,即3）初应变法——修正牛顿法2000.49哈尔滨建筑大学王焕定

5、教授制作也即初应变可作为等效结点荷载考虑由此，象初应力法一样，可得迭代公式为因为它是不断修改初应变，使趋于一常量（总应变和弹性应变之差）。因此也称初应变法。其求解步骤如下页所示。表示集成为了更好地掌握上述知识，讲义上举了一个简单例子，用以说明切线刚度法和初应力法。2000.410哈尔滨建筑大学王焕定教授制作初应变法的计算步骤为：1）由集装初始切线矩阵；2）由求线弹性的解；3）计算单元线弹性应变和单元初应变；4） 由集装;5）由（3．8）求;迭代直到很小。2000.411哈尔滨建筑大学王焕定教授制作为了更好地理解，这一例子各种方法的示意图如下所示。20

6、00.412哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2000.413哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2000.414哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2000.415哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2000.416哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2弹塑性问题的有限单元法材料应力应变非线性、岩土工程的开挖和施工过程等对结果有重大影响的问题，都必须用增量法来求解。在增量荷载ΔRm作用下，位移、应力、应变和内变量等的增量分别为下一步迭代时的荷载水平为设m迭代步的结果已知，位移、应力、应变和内变量等分别记作2000.417哈尔滨建筑大学王焕定教授制作由于所讨论的是小变形问题，因此或对弹塑

7、性问题，本构关系为也即单元增量应变为。象弹性问题一样，第m+1步单元刚度方程为弹性矩阵塑性矩阵弹塑性矩阵精确解时2000.418哈尔滨建筑大学王焕定教授制作因此应力增量为由于在ΔRm作用前后，单元高斯积分点的应力状态可能是弹性，也可能是塑性。因此首先得解决状态判别问题。基于此，由单元集成可得整体非线性方程为在第二章已讨论了应变空间的加、卸载的规则，它们是2000.419哈尔滨建筑大学王焕定教授制作为进一步讨论状态判别，设在荷载Rm作用下应力和内变量对应一弹性状态，也即其几何解释为：弹性应力增量指向屈服面内侧或相切时，反应是弹性的。否则是塑性加载，反应

8、是弹塑性的。增加荷载ΔRm后，转入塑性状态，即弹性应力弹性应力2000.420哈尔滨建筑大学王焕定教授制作也