变量代换方法在求解微分方程中的应用

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1、2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用变量代换方法在求解微分方程中的应用1引言在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。然而，值得注意的是，不同的类型的方程,其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函

2、数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。例1求微分方程的通解.解因为，分离变量，，两端积分，，，所以.令，于是为所求.注：以后为了方便，可将就写成，注意结果中可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。下面介绍几类这样的方程。2.1一阶齐次方程1.形如的齐次方程（其中)为常数

3、）作变量代换，可将方程化为分离变量方程，将和代入方程，整理后可得：522010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用例2解方程解将方程整理后可得故令，带入后可得分离变量后，两边积分可得再代回原变量，得方程的通解为2.形如的齐次方程作变量代换，则，代回原方程，整理后可得此时方程转化为分离变量方程，故可求出其通解。例3解方程解令可得，代入方程得分离变量，再积分，化简整理可得,再代回原变量，得原方程的通解注:该类型还可以推广到形如2.2伯努利方程522010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用形如①的方程称为伯努力方程。注：此方程的特点是未知函数的导数

4、仍是一次的，但未知函数出现次方，时为非线性的.我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程。求解方法为：将方程①的两端同乘以，得，设变量替换，则，即；代入原方程，得，即，这是一个非齐次线性微分方程.按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以换回原变量，即为所求.例4求微分方程的通解.解这是一个伯努力方程.以乘方程的两端，得，于是，令，则，即，代入原方程，得，或，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程的常数变易法可求其通解。2.3二阶线性微分方程形如（1）其中都是已知的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式。（2）称为与之对应的齐次方程。522010届本

5、科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用对于上两方程有下面两定理：定理1若是的一个非零解，则由变量代换可求得(1)通解其中，是任意常数且(3)(4)证明设是(1)的解，其中是u待定函数，则有，将代入(1)整后并注意解得：(5)(5)是关于的一阶线性微分方程，从而可得：所以(1)的解为其中、分别为（3），（4）可直接验证（3）是的(2)特解又不是常数，所以是的通解。定理2二阶线性微分方程其中A>0，a是常数，可经自变量代换化为常系数线性微分方程的充要条件是：，c为常数，在满足条件下由变换化为，k可取任意非零实数(6)522010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方

6、程中的应用证明①在满足条件下将变换代人（6）可验证结论正确。②若可把（6）化为：(7)把代入(7)得：(8)从而由于(7)和(8)是通解方程，所以把代入后一个等式可得2.31二阶常系数线性微分方程形如（其中p，q为常数）(9)的微分方程称为二阶常系数微分方程。像这样的方程总可以经过变量代换将原方程(9)转化成关于Z的线性齐次方程，其中A是可以确定的待定常数，事实上，由于方程(9)有形如形式的特解，所以令则有，将这三个式子代入方程(9)得(10)整理得(11)要使方程称为齐次方程，当且仅当522010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用从而(12)容易看出，当

7、不是对应其次线性方程的特征方程的根，用(12)式所确定的A代替变量代换中的A后，方程可化⑴为一个齐次方程。当为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得：①为单根时，②为重跟时，综上可得一下定理和推论：定理3若不是特征方程的根，则方程可经过变量代换转化成Z的齐次方程。推论1若是特征方程的单根时，则方程可经过变量代换[其中]转化成Z的齐次方程。推论2若是特征方程的重根时，则方程可经过变量代换[其中]转化成Z的齐次方程。对方程(13)当不是特征方程的根时，方程(13)有形如形式的特解，于是可令做法同前面一样，代入中并整理得522010届