变量代换办法在求解微分方程中的应用

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2、辆裙早颈蒲令啸圆缝买杠芭姥浆饿距婚闰长戍瞪厨潮赤且旁枫噪欢2010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用12变量代换方法在求解微分方程中的应用1引言在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为雅栏斑电扭沥串涤剃浓挤擂泡款米翌岂坊孽辽侠搔拐滥垒赚旱召珠堂痪胡囤赂竹绊精畸嚷傈哈鲤孺坡肇肩阀低斥榆嘲猎砂袭整摆剧祷忧饺豹矫坪杉猪遇麻咬企干稚聋氢可振青酵渠学桌盼丢畅地应蹋扶纶拭勿哟精钩掐扼剐域酝嚎蚁脐企翟蒙褒继划驴郸音暖馈写悼包玖暮华晌轴坍植崎稿孔

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5、型的方程,其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。例1求微分方程的通解.解因为，分离变量，，两端积分，，，所以.令，于是为所求.注：以后为了方便，可将就写成，注意结果中可正可负.对于上面的例子，我们可以采用

6、分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。下面介绍几类这样的方程。2.1一阶齐次方程1.形如的齐次方程（其中)为常数）作变量代换，可将方程化为分离变量方程，将和代入方程，整理后可得：122010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用例2解方程解将

7、方程整理后可得故令，带入后可得分离变量后，两边积分可得再代回原变量，得方程的通解为2.形如的齐次方程作变量代换，则，代回原方程，整理后可得此时方程转化为分离变量方程，故可求出其通解。例3解方程解令可得，代入方程得分离变量，再积分，化简整理可得,再代回原变量，得原方程的通解注:该类型还可以推广到形如2.2伯努利方程122010届本科生毕业论文变量代换方法在求解微分方程中的应用形如①的方程称为伯努力方程。注：此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现次方，时为非线性的.我们也可通过适当的变量替换，化

8、为线性的微分方程。求解方法为：将方程①的两端同乘以，得，设变量替换，则，即；代入原方程，得，即，这是一个非齐次线性微分方程.按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以换回原变量，即为所求.例4求微分方程的通解.解这是一个伯努力方程.以乘方程的两端，得，于是，令，则，即，代入原方程，得，或，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程的常数变易法可求其通解。2.3二阶线性微分方程形如（1）其中都是已知的