可用变量代换法求解的一阶微分方程

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1、第四节可用变量代换法求解的一阶微分方程一、齐次方程二、可化为齐次型的方程三、利用变量代换求微分方程的解四、伯努利方程一、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法令代入原方程,得可分离变量的方程1.定义两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.分离变量，例1求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得即故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)例2求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得故原方程的通解为说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在求解过程中丢失了.例3求解微分方程解代入原方程得分离变量,两边积分,得故原

2、方程的通解为可得OMA=OAM=解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM而AO于是得微分方程:例4在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)二、可化为齐次型的方程为齐次方程.(h和k是待定的常数)否则为非齐次方程.2.解法1.定义原方程化为令,解出h,k(齐次方程)求出其通解后,即得

3、原方程的解.解代入原方程得分离变量方程变为得原方程的通解令则两边积分即可得通解。三、利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为有时可通过适当的变量代换把一个方程化为可分离变量的方程：解令则故有即解得所求通解:解解代入原式分离变量法解得所求通解为另解伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.四、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例1解例2所求通解为解例3令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:五、小结1、齐次方程齐次方程的解法2、可化为齐次方程的方程3

4、、伯努利方程伯努利方程的解法六、几点说明:1、一阶微分方程的类型较多,不同类型有不同的解法,因此首先要识别方程的类型,然后应用相应的解法.2、有时所给的方程并非标准型,应把方程转化为标准形式再求解.思考题方程是否为齐次方程?解方程两边同时对x求导:原方程是齐次方程.练习题练习题答案思考：例求解微分方程提示:上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.例用适当的变量代换解下列微分方程:解分离变量法解得所求通解为通解为解