常微分方程2.4 变量替换法

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1、前面我们介绍了线性方程、变量可分离方程和全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可通过适当变换化为这三类方程的方法。§2.4变量替换法事实上，还有许多方程可以通过变量变换方法化为已知类型来求解。1就将方程变换为线性方程:下面介绍几种常见类型的变量替换法。通过引进新的变量例如：对微分方程2引进变量，则原方程可化为这是一个变量可分离的方程。二、形如方程3例2.4.3求方程对上式分离变量得：解：令则代入方程整理得积分得代入原变量得到通解为：4利用变量替换法求解微分方程十分灵活，一般依赖于方程的形式和求导的经验。三、其它变换法例2.4.5求方程解：做变换

2、变量可分离方程故原方程的通解为5解：该方程求解的困难在于右端的根号，因为代入（2.4.3）我们希望去根号，因此，做变换这是一个齐次方程,求解得例2.4.6求方程6故我们做变换例2.4.7求方程解：根据经验，仔细观察该方程的特征：代人原方程得：因此得到原方程的解：7例2.4.8求解方程解：仔细观察该方程的特征：对方程做恒等变形得，求解线性方程得：自然做变换原方程化为：8解分离变量法：通解：求解微分方程练习9解方程变为分离变量法通解：另解练习10解原方程变为齐次方程练习11四、Riccati方程形如的方程称为Riccati方程。一般情况下，Ricc

3、ati方程无法用初等积分法求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了他的一个特解，才可以求出他的通解。12Riccati方程一些可求解的特殊类型：是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。都是常数时，Riccati方程1、当2、当时，Riccati方程是线性方程。时，Riccati方程是Bernoulli方程。3、当13将方程化为变量可分离的方程。4、当Riccati方程的形式为:时，可利用变量替换14因为是方程的解，因此方程变形为：这是一个Bernoulli方程。5、当Riccati方程有一个特解可利用变量替换代入原方程得15定理2.3设Ri

4、ccati方程为：其中都是常数，且设又设则当时，方程可通过适当变换化为变量可分离的方程。6、对一些特殊类型的Riccati方程，介绍一个用变量替换法化为变量可分离方程的定理。16代入原方程得证.不妨设否则可通过变量代换化为因此，代替原方程，我们考虑当时，变量可分离的方程当时，做变量变化变量可分离的方程。17当时，做变量代换代入原方程得：其中再做变换进一步可把方程变为：18P.711（2，4，6）3（1，4）作业P.501（17，18）19