常微分方程2.2 变量可分离方程

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1、形如（2.2.1）的方程称为变量可分离方程。§2.2变量可分离方程这里是连续函数.该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积.1一、变量可分离方程的求解当方程（2.2.1）两边同除以得这样对上式两边积分得到例2.2.1求微分方程的通解。2注：求方程通解时，我们假设若时得y值也可能为方程的解。解：变量分离后得上式两边积分得整理得其中该解在无定义,故通解在中有定义.所以要考虑的情况，该方程对应的解我们称为常数解.3例2.2.2求微分方程的通解.解:变形为积分得:求积分得:解得:4记则因为可得故所有的解为:5练习解通解：6二、齐次方程齐

2、次函数:函数称为m次齐次函数,如果齐次方程:形如的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可分离方程。求解思想:7例2.2.3求下面初始值问题解：方程为齐次方程，令求导后得分离变量得事实上,令则故有即8积分上式得用代入得利用初始条件可定出代入上式解出9求解微分方程微分方程通解：解练习10解方程解改写方程：齐次方程方程变为：两边积分：练习11分析解方程变为齐次方程练习12两边积分通解：分离变量13三、可化为齐次方程的方程形如的方程可化为齐次方程.其中都是常数.1.当时,此方程就是齐次方程.2.当时,并且(1)14此时二元方程组有惟一解引入

3、新变量此时,方程可化为齐次方程:15(2)若则存在实数使得:或者有不妨是前者,则方程可变为令则163.对特殊方程令则17例2.2.4求方程的通解。解：解方程组得令代入原方程可得到齐次方程令得18还原后得原方程通解为变量分离后积分19解代入原方程得非齐次型方程.方程组齐次型方程.方程变为练习20分离变量法得原方程通解21例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t时刻雪球的体积为，表面积为球体与表面

4、积的关系为§2.2.3变量可分离方程的应用22引入新常数再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为再利用条件确定出常数C和r代入关系式得t的取值在之间。23游船上的传染病人数.一只游船上有800人,12小时后有3人发病.故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解设y(t)表示发现首例病人后t小时的感染人数。其中k>0为比例常数.可分离变量微分方程初始条件:练习24两边积分

5、,通解分离变量25直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。26车灯的反射镜面--旋转抛物面解练习27两边积分28抛物线29P.501（1，4，5，9，15）2（1，3），6作业30