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1、*2010年11月安庆师范学院学报(自然科学版)Nov.2010第16卷第4期JournalofAnqingTeachersColege(NaturalScienceEdition)Vol.16No.4变量代换法求解常微分方程张海,谢秀娟(安庆师范学院数学与计算科学学院,安徽安庆246133)摘要:本文总结了变量代换法在常微分方程中的应用,借助恰当的变量代换将微分方程简化为可解类型,求出其通解或者特解,同时举出实例加以说明。关键词:常微分方程;变量变换法;通解;特解中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:1
2、007-4260(2010)04-0082-060引言变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法[1-8]具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解法。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。1变量代换法求解一阶微分方程dyyy1)对于齐次微分方程=g(),这里g(u)是u的
3、连续函数。作变量变换u=,使方程化为变量dxxxdug(u)-u分离方程=,可求解。dxxdya1x+b1y+c12)对于准齐次微分方程=,这里a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数。dxa2x+b2y+c2a1b1c1dy当===k(常数)时,方程直接化为=k,有通解y=kx+c(c为常数);a2b2c2dxa1b1c1当==k!时,作变量变换u=a2x+b2y,将方程化为变量分离方程a2b2c2duku+c1=a2+b2,可求解;dxu+c2a1b1X=x-∀当!时,作变换,其中(,)为直线a1x+b1y+c1=0
4、和直线a2x+b2y+c2a2b2Y=y-dYa1X+b1YY=0在xoy平面的交点,将方程化为齐次方程==g(),可求解。dXa2X+b2YXdya1x+b1y+c13)对于更一般类型=f(),这里a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数。dxa2x+b2y+c2a1b1c1dy当===k(常数)时,方程直接化为=f(k),有通解y=f(k)x+c;a2b2c2dx*收稿日期:2010-05-28基金项目:安徽省教育厅自然科学研究基金项目(KJ2008B152,KJ2009B098)资助。作者简介:张海,男,安徽桐城人,安
5、庆师范学院数学与计算科学学院副教授,博士,研究方向:泛函微分方程、分数阶微分方程。第4期张海,谢秀娟:变量代换法求解常微分方程%83%a1b1c1当==k!时,作变量变换u=a2x+b2y,将方程化为变量分离方程a2b2c2duku+c1=a2+b2f(),可求解;dxu+c2a1b1X=x-∀当!时,作变换,其中(,)为直线a1x+b1y+c1=0和直线a2x+b2y+c2a2b2Y=y-dYa1X+b1YY=0在xoy平面的交点,将方程化为齐次方程=f=fg(),可求解。dXa2X+b2YXdy
6、4)对于方程=f(ax+by+c),这里a,b,c均为常数。作变量变换u=ax+by+c,将方程化为dxdu变量分离方程=a+bf(u),可求解。dx5)对于方程yf(mxy)dx+xg(nxy)dy=0,这里m,n,均为常数。作变量变换u=xy,将方程duug(nu)-uf(mu)化为变量分离方程=,可求解。dxxg(nu)+1dy6)对于方程x=f(xy),这里为常数。作变量变换u=xy,使方程化为变量分离方程dxduu+f(u)=,可求解。dxx7)对于方程M(x,y)(xdx+ydy)+N(x,y)(x
7、dy-ydx)=0,其中M,N为关于x,y的齐次函数。2yduf(u)(u+1)M(x,y)作变量变换u=,化为变量分离方程=f(u)=,可求解。xdxxM(x,y)u+N(x,y)dyn8)对于Bernoulli方程=P(x)y+Q(x)y,这里P(x),Q(x)为连续函数,n!0,1为常数。当dx-n-ndy1-n1-ny!0时用y乘以原方程两边得到y=yP(x)+Q(x),作变量变换z=y,使方程化为线性dxdz微分方程=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x),可求解。dxdy29)对于Riccati方程=P(x)y+Q(
8、x)y+R(x),当R(x)恒为零时,Riccati方程就是Bernoullidx方程,可采用8)中的变换求解;当R(x)不为零时,若y(x)为Riccati方程的一特解,作变量变换z=dz2y-y(x),使方程化为一个关于z的Bernoulli方
