变量代换法在不等式中的应用

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1、考—一蓑～～⋯～一竞赛之路中学謦学教参考s7～。-一真。毒之跨2∞9年第6期止~-2}·高中数学竞赛中常用的思想方法·夔塞代彗冀藩箍苯等武中党效文(西安市高新一中)对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题，是三个互不相等的正数．证明：引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，从而达I++蛊{>．到解决问题的目的，这种方法叫做变量代换法．变量代换法是一种非常有效的解题方法，尤其是讲解澈口一D0箸—CC—n则xy@yz处理一些复杂的不等式问题，效果明显．合理代换往+zz一～1．往能简化题目的信息，凸显隐含条件，沟通量

2、与量之‘．‘(z++z)。≥l3(+z+zx)l一3，间的关系，对发现解题思想，优化解题过程有着重要’．．Iz+y+f≥~／3>1，即的作用．常用的变量代换主要有局部代换、整体代换、三角代换、分式代换、对称代换、增量代换等．下面举I++蛊l>．例说明．说明：本题通过局部代换，发现了隐含条件xy例1(2004年中国女子数学奥林匹克试题)设+．yz+z一一1，从而应用重要不等式(+Y+)n、b、c均为正数，求叫一a+3c+4b≥3(++zx)使问题得到简解．例3(2002年拉脱维亚数学奥林匹克试题)设一的最小值．正

3、足++南+讲解：本题涉及的三个变量a、b、C不具有对称一1，证明：abcd≥3。性，且三个分式的分母都是多项式，如果通分，则运算讲解：设＆：==tanA，b一tanB，C=tanC，d。量较大．因此，可考虑把各分母用其他变量代换，看看一tanD，其中A、B、C、D均为锐角，则由已知条结果如何．件，得令一口+26+c，Y—a+6+2c，z—n+6+3c(x，COSA+COSB+COS。C+COS。D=1．Y，z>O)，则a+3c=2．)，一z，4b=4x一8y+4z，8c一8z从而sinA一1一COSA—COSB

4、+COSC+COSD一8．≥3~／(cosBcosCcosD)．·2y-x+4x-8y+4z8z-8y一——．．叫：同理sinB≥3(cosCcosDcosA)，Yzsin。C≥3(cosDcosAcosB)。，：++堑+一17TYzsinD≥3(COSACOSBCOSC)。．四式边边相乘，得(sinAsinBsinCsinD)。≥81≥2√·+2√·一7·(COSACOSBCOSCoosD)，‘．．tanAtanBtanCtanD≥9，即abf。d。≥9．—12一17．故abcd≥3．当且仅当一，且堑一一8y

5、，即一，一2说明：本题抓住了题设等式的结构特点，通过三)时，上式取等号．角代换，使这个看上去无从入手的问题变得非常‘简单．．．当b一(1+√2)口，c一(4+3√2)口时，例4设正数z、Y、z满足++一xyz，求证：w一12一17．说明：本题通过对分母进行代换，改变了题目的南+南+志≤丢结构，使均值不等式有了用武之地．讲解：设n一1，b：，c：(口>0，6>0，c>o)，例2(2007年伊朗数学奥林匹克试题)设n、b、c考试58⋯,fq磬孳謦夸孝===一冀⋯一毒之。～--一．一轰2009年第6期(上旬l则由z+

6、+z—z，得口6+6c+f口一1，从而铮口。一2a一4a+8≥0∞(n一2)。(口+2)≥O．丽1十—丽1十—鬲1、册上面最后一个不等式显然成立，从而不等式①成一堡+鱼+一!一一立，故原不等式成立．。说明：本题应用了对称代换，让困难在变形中得到突破．一———————三————一—————————————一／a———2—’+——。—a‘—b‘。。+。。。’b。c’+———‘c‘—a—‘~／’(——b—‘z‘—‘+‘。。。a。。b。。+。。。’b———c——‘+—‘—‘。c。。a。。。—)—例6(2008年IMO试

7、题)设实数,3g、Y、z都不等~+————————1_====于1，且满足xyz一1，求证：37)+()c2七abbcCa一———————垒—————一———————鱼——一+()≥1．vFE—a+b)(a+c)讲解：这是一个轮换对称不等式，令一，+—=======二√(c+a)(c十6)bv／(-b+c)(b—+———a——)—一(口+6)(a+f)，z一，则刍=，一，刍(口+6)(口+c)’c、而+(f+口)(c+6)‘再令一，一，毒一叫而a~／(a-Fb)(a-Fc)≤4一(—T弋一(旷一1)(一1)(w

8、-1)，从而口一6)(6一f)(f一口)一⋯⋯⋯++一1一“+删+“．一丢(+)，·．．(刍)+()+()。同理％≤(丽b+)，=M。++叫一(“++训一1)。一2(“+训+wu)+2(U+≤丢(I南+南)．+7PI)一1·一(U++叫一1)+1≥1．··丽1十丽网1十—积1说明：本题进行了两次代换，首先由z一n，≤丢(+)+丢(+)b3I—，z一詈消化了题设条件zz一1；其次由+号(