带跳随机延迟微分方程半隐式Euler方法的均方指数稳定性-论文.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)Vo1．34第2期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No．2，2014带跳随机延迟微分方程半隐式Euler方法的均方指数稳定性徐丽丽，刘翔(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)摘要：研究带跳随机延迟微分方程半隐式Euler方法的均方指数稳定性．将半隐式Euler方法应用到维纳过程和泊松过程驱动下的非线性随机延迟微分方程上进行讨论，给出了半隐式Euler方法的均方指数稳定性的条件．关键词：非线性带跳随机延迟微分方程；半隐式Euler方法；均方指数稳

2、定中图分类号：O241．8文献标识码：A文章编号：1009-2714(2014)02．0070．04doi：10．39fig／j．issn．1009—2714．2014．02．0161引言及预备知识当前由于带跳随机延迟微分方程与确定性模型问题比较，往往能够更加真实地模拟科学实际中的问题，因此它已被广泛地应用于经济学、物理、化学、控制论、金融学、神经网络、生态学等各个研究领域．而由于考虑噪声环境和时间滞后对系统的影响，随机延迟微分方程能够更准确地描述客观事物的状态和变化规律，因而对带跳随机微分方程稳定性的研究很有必要．对于带跳随机延迟微分方程数值方法的稳定

3、性研究是一件很有意义的工作，但已有文献并不多见，而且都只是讨论线性方程的情形．在[1]中介绍了随机微分方程系统两类数值方法的稳定性；[2]介绍非线性随机延迟积分方程数值方法的均方指数稳定性；[3]，[4]分别介绍了带跳和不带跳的随机延迟微分方程数值解的a．s．指数稳定性；[5]介绍了带跳随机延迟微分方程数值方法的均方稳定性；[6]介绍了带跳随机延迟微分方程半隐式Milstein数值方法的均方稳定性．本文在他们的基础上研究了非线性带跳随机延迟微分方程半隐式Euler方法的均方指数稳定性．设(，F，{}卸，P)是完备的概率空间，滤子{F}满足通常条件，即它们

4、是右连续的且每一个都包含所有的零概率集．令1．I表示R中的欧几里得范数和足中的迹范数，<，Y>表示中，y的内积．记C=C([一，0]，R)，C依范数lllI：=SupI()I成为一个Banach空间．令c([一，o]；)表示可测且有界的c值随机变量族．考虑下列非线性带跳随机延迟微分方程fdX(t)=t，(t)，X(t—))d￡+g(t，X(￡)，X(t一丁))dW(t)+h(t，X(t)，f(t一丁))dN(t)，￡t>0，．、I(t)：(￡)，-,／-≤t≤o()其中rv(￡)是一维标准Wiener过程，Ⅳ(t)是强度为A的泊松过程．‘收稿日期：2ol

5、4一-0l—2O作者简介：徐丽丽(199o一)，女，湖北随州人，硕士研究生，主要从事随机微分方程的稳定性研究．·70·2主要结果及其证明对于方程(1)应用半隐式Euler方法，+1=+OAtf(t+1，+1，一+1)+(1—0)△if(t，，X一)+{g(t，X，X一)△+h(t，，一)ZXN，n≥0(2)tX=(t)，一m≤n≤O这里0是数值方法相应的参数且o≤≤1，步长△￡=>o(m是正整数)，步点￡=n△t，Wiener增量△=(t)一(t)是一列服从N(o，／xt)正态分布且相互独立随机变量，增量△=N(t+)一N(t)是服从泊松分布的随机变量．

6、为解析解X(t)相应的数值解，即X(t)．定义1对给定的步长△f，如果存在正常数和日与无关，使得对任意的初始值(t)，=一m，一m+1，一·，0有EII。≤加lIlle～(3)成立，则称数值解序列均方指数稳定．t定理2如果存在正数0和非负实数，，，：，。，7：，b，b：，使得对于任意的t≥O，，，Y∈R，方程(1)满足如下条件￡，X，0)≤一口I(4)t，，O)一t，X，y)I≤b1I—l+b2Iyl(5)，，y)I≤1IXI+2lYI(6)Jg(t，，y)J≤IIXI+IyJ(7)lh(t，，y)I≤1IXI+2I】，l(8)P：=口一6D：一_=2>

7、o(9)2一————————————————一)u～．贝4当△t<△t’，其中^．·一‘一[(1一)2(1．+a2)——+A2(——1+．——2)+(—1—一)A——(——1+l一+2+2一)]时，半隐式Euler方法(2)是均方指数稳定的．证明我们有IX+1—0ZXt+1，+l，五一+1)I=I+(1—0)△t，，一)+g(t，X，X一)△+h(t，X，墨一)△Ⅳ^I从而有l+1l：IXI+I(1—0)△t，X，一)I+Ig(t，X，一)／x1I+lh(t，，以一)／xⅣ^I一IOZXt川，以+1，一+1)l+2△t+

8、2(1一)／xt+2+2