单物种人口模型指数隐式Euler方法的振动性

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1、2015年2月计算数学第37卷第1期Feb．，2015MATHEMATICANUMERICASINICAVo1．37．No．1单物种人口模型指数隐式Euler方法的振动性木1)王琦汪小明(广东工业大学应用数学学院，广州510006)摘要本文研究了用以描述单物种人口模型的延迟Logistic方程的数值振动性．对方程应用隐式Euler方法进行求解，针对离散格式定义了指数隐式Euler方法，证明了该方法的收敛阶为1．根据线性振动性理论获得了数值解振动的充分条件．进而还对非振动数值解的性质作了讨论．最后用数值算例对理论结果进行了验证．关键词

2、：人口模型；指数隐式Euler方法；数值解；振动性MR(2000)主题分类：65L05，65L20，65L991．引言近年来，人们对动力方程[1]、偏微分方程[。】和延迟微分方程[0】等微分系统的解的振动行为的关注越来越多，这主要是因为微分系统的振动性理论在生物学和生态学等许多领域具有广泛的应用．更多的信息参见[4，5]．相对于方程本身的振动性研究，延迟微分方程的数值振动性研究已经开始起步．文献[6,7]分别考虑了分段连续型微分方程(简记为EPCA，属于延迟微分方程x)+ax(t)+alx([t一1])=0的0．方法和Runge—K

3、utta方法的数值解的振动性．Gao等人Is]研究了人口动力学中非线性延迟微分方程数值解的振动眭．在本文中，我们将针对另一个用以描述单物种人口模型的非线性延迟微分方程：延迟logistic方程，考察其数值振动眭．考虑如下方程⋯㈤[一])(1．)其中r，，7_∈(0，。。)．(1．2)方程(1．1)由Hutchinson【9j在研究单物种人口动力学时首次提出．这里N(t)表示在t时刻的人口密度，r为增长率，为环境承载量．1一N(t一丁)／表示一个反馈机制，在人口数量发生变化时的反应时间为丁．近几十年来，很多理论数学工作者都对方程(1．

4、1)本身的性质做了研究．在I1O]中，作者给出了方程(1．1)每一个正解振动的充要条件．Khan等人In】利用同伦分析方法求得了方程(1．1)的解析近似解．R6st[12】考虑了方程(1．1)解的渐近行为．在本文中，我们主要关注方程(1．1)的数值振动眭．2014年2月27日收到．)基金项目：国家自然科学基金资助项目(11201084)58计算数学2015盆2．预备知识下面给出微分方程解的振动性与非振动性的概念．定义1．如果存在一个序列{t)1，使得当k。。时￡__}0(3，并且方程(1．1)的非零解N(t)满足N(tk)N(tk一

5、)0，那么就称这个非零解是振动的；否则，称为是非振动的．如果方程(1．1)的所有非零解都振动，那么称方程(1．1)振动；如果方程(1．1)的所有非零解都非振动，那么称方程(1．1)非振动．为了后面讨论的需要，我们进一步给出差分方程解的振动性与非振动性的概念．考虑差分方程Xn+s+plxn+s一1+··-+PsXn=0，(2．1)其中礼，s∈N+，Pi∈，i=1，2，⋯，s定义2．如果存在一个序列{n)，使得当k_÷∞时礼。。，并且方程(2．1)的非零解满足XnkX一0，那么就称这个非零解是振动的；否则，称为是非振动的．如果方程(2．

6、1)的所有非零解都振动，那么称方程(2．1)振动；如果方程(2．1)的所有非零解都非振动，那么称方程(2．1)非振动．对于方程(1．1)，它的初始条件如下N(t)=()，一丁t≤0其中，∈[【一7-，0]，(0，+。。)]，5(0)>0．引入下面的不变振动变换n，(2．2)其中，是方程(1．1)的正平衡点，那么方程(1．1)可以化为)+rf(x(t一丁))=0，(2．3)其中f(z1=e一1并且满足下列条件‘’(2．4)lim：1．显然，N(t)关于振动当且仅当x(t)关于零振动．在后面的分析中将用到下述两个结果．引理1．对于X>一

7、1和X≠0有ln(1+X)>x／(1+)．定理1．[1o]假设条件(1．2)成立，那么方程(1．1)的每个正解关于K振动当且仅当(2．5)1期王琦等：单物种人I：1模型指数隐式Euler方法的振动性593．数值振动性设步长h=丁／m，m为正整数，对方程(2．3)应用隐式Euler方法得n+1=n—hrf(x+1一)，(3．1)其中卅1和n+1一分别是对方程(2．3)的真解x(t)和x(t一7-)在t时1处的近似，这里tn+1为时间t的第n+1个离散节点．令X=ln(／K)，有=唧((一))．cs．2定义3．称迭代格式(3．2)为方程

8、(1．1)的指数隐式Euler方法，其中h=7-／m，m∈N，^+1和Ⅳ_n+1一分别是对方程(1．1)的真解N(t)和N(t一7-)在tn+1处的近似，t+1为时间t的第佗+1个离散节点．从而有下面的收敛性结论．定理2．指数隐式Eu