显式Euler、梯形方法、预校Euler方法的比较

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1、微分方程数值解实验报告姓名丁建伟学号200708020211日期2010．10．6实验项目显式Euler、梯形方法、预校Euler方法的比较指导教师徐强一、上机实验的问题和要求（需求分析）：考虑一阶常微分方程初值问题dy/dx=-y^2,0<=x<=1,y(0)=1，其精确解为y=1/(1+x),使用三种方法求初值问题数值解。给出步长h=1/16,1/32,1/64,1/128,1/256时的x=1点处的整体截断误差E(h)=

2、yn-y(1)

3、，并从误差、收敛阶、计算量方面比较三种方法。目的与要求

4、：掌握三种方法的程序实现掌握比较算法优缺点的方法二、程序设计的基本思想，原理和算法描述：算法的基本思想：用离散问题代替连续问题，在解的存在区间(a,b)上根据所给出的n值取n+1个节点：即a=x0

5、er方法：三、主要程序代码或命令：#include#include//需要用到绝对值abs（）和求平方根sqrt（）函数voidmain(){intn;inti;printf("请输入n的值：");//输入变量n的值scanf("%d",&n);floaty=1.0,y0=1.0,y1=1.0;//赋初始值。floate,e0,e1;//绝度误差floath;h=1/float(n);for(i=1;i<=n;i++){y=y-h*y*y;//显式Euler方法的

6、变换公式。y0=(1/h)*(sqrt(2-(h*y0-1)*(h*y0-1))-1.0);//梯形方法的变换公式。y1=y1-(h/2)*(y1*y1+(y1-h*y1*y1)*(y1-h*y1*y1));//预校Euler方法变换公式。printf("n=%d",i);printf("——Euler方法");printf("y=%f",y);printf("——梯形方法");printf("y0=%f",y0);printf("——预校Euler方法");printf("y1=%f",y1

7、);}e=fabs(y-0.5);e0=fabs(y0-0.5);e1=fabs(y1-0.5);printf("请输出最终结果y=%f，误差为%f;y0=%f，误差为%f;y1=%f，误差为%f",y,e,y0,e0,y1,e1);}四、调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施：1、编译时出错，检查程序发现没有加入使用函数预处理，在开头加上#include。2、编译时，没有注意数据类型转换，如floath;h=1/n;是错误的，因为n是整形的，当n值大于1时，h老为零。应进行模

8、式转换，h=1/float（n）；这样才是正确的。3、对浮点数求绝对值时，应使用fabs（）函数，而不是abs（）。五、运行输出结果及分析：上述程序在VisualC++6.0环境下加以实现。经过多次测试，程序运行正确。例如：输入n值：16，运行结果如图所示，图中显示了使用三种方法每一步的值及误差。由上图可知：1.在x=1点处的整体截断误差E(h)=

9、yn-y(1)

10、，显式Euler方法为0.011194，梯形方法为0.000244，预校Euler方法为0.000256.。由此可得，在误差精度上，梯

11、形方法最好，预校Euler方法次之，显式Euler最差。2.由变换公式知，显式Euler方法的截断误差O（n2），梯形方法和预校Euler方法都为O（n3）。3.从计算量上，预校Euler方法最大，梯形方法次之，显式Euler方法最简单。通过这次课程设计:1.我又进一步巩固了C语言的基础。2.做课程设计达到了理论与实践结合的目的，提高了自己的编程能力。3.对三种方法有了更深一步的了解，掌握了其原理和使用。