证明隐式euler方法稳定性

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1、第六章　数值积分6.1　数值积分基本概念6.1.1　引言在区间上求定积分　　　　　　　　　　　　　　　　(6.1.1)是一个具有广泛应用的古典问题，从理论上讲，计算定积分可用Newton-Leibniz公式　　　　　　　　　　　　　　　　　(6.1.2)其中F(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如等等，表面看它们并不复杂，但却无法求得F(x).此外，有的积分即使能找到F(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x)在节点xi(i=0，

2、1,…,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.本章将介绍常用的数值积分公式及其误差估计、求积公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及Romberg求积法与外推原理等.6.1.2　插值求积公式根据定积分定义，对及都有(极限存在)若不取极限，则积分I(f)可近似表示为　　　　　　　　　　(6.1.3)这里称为求积节点，与f无关，称为求积系数，(6.1.3)称为机械求积公式.为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在上用Lagrange插值多项式，则得30　　　　　其中　　　　　　　　　　　　　(6.1.4)这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积

3、公式(6.1.3)中的系数由(6.1.4)给出，则称(6.1.3)为插值求积公式.此时可由插值余项得到　　　　　　　(6.1.5)这里ξ∈，(6.1.5)称为插值求积公式余项.当n=1时，，此时　　　　　　　由(6.1.4)可得　　　　　　　于是　　　　　　　　　　　　(6.1.6)称为梯形公式.从几何上看它是梯形AbB(见图6-1)的面积近似曲线y=f(x)下的曲边梯形面积，公式(6.1.6)的余项为　　　　　　　　　　　　(6.1.7)306.1.3　求积公式的代数精确度当被积函数即f为次数不超过n的代数多项式时，，故由(6.1.5)有，它表明插值求积公式(6.1.

4、3)精确成立.对一般机械求积公式(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数及节点的一种方法.在此先给出定义.定义1.1　一个求积公式(6.1.3)若对精确成立，而对不精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.根据定义，当时公式(6.1.3)精确成立，故有等式　　　　　　　　(6.1.8)而　　　　　(6.1.8)是关于系数及节点的方程组，当节点给定时，(6.1.8)取m=n就是关于系数的线性方程组，求此方程组就可求得求积系数.例如n=1，取，求积公式为在(6.1.8)中令m=1，可得30　　　　　　　　　　　　

5、　　　解得　　　　　　　　　　　　　　它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯形公式(6.1.6)，当时故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次.对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当时，故公式精确成立，它至少有n次代数精确度.反之，若求积公式(6.1.3)至少有n次代数精确度，则它是插值求积公式，即(6.1.3)的求积系数一定可用(6.1.4)求出.实际上，此时对求积公式(6.1.3)精确成立，若取f(x)为插值基函数，即由(6.1.3)精确成立，可得这就是(6.1.4)得到的插值求积公式系数.定理1.1

6、　求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具有n次代数精确度.定理表明直接利用代数精确度概念，由(6.1.8)可求得插值求积公式.更一般地，含有被积函数的导数的求积公式也同样可用代数精确度定义建立.如下例所示.30例6.1　求积公式，已知其余项表达式为.试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.解　本题虽用到的值，但仍可用代数精确度定义确定参数及.令，分别代入求积公式.令公式两端相等，则　　　　当　　　　当　　　　当解得，于是有再令，此时，而上式右端为，两端不等，则求积公式对不精确成立，故它的

7、代数精确度为二次.为求余项可将代入求积公式当，代入上式得30，即所以余项.6.1.4　求积公式的收敛性与稳定性定义1.2　若[，则称求积公式(6.1.3)是收敛的.定义中n→∞包含了通常都要求用于计算积分(6.1.1)的求积公式(6.1.3)是收敛的.本章后面给出的求积公式都必须先证明其收敛性.稳定性是研究计算和式当有误差时，的误差是否增长.现设，误差为.定义1.3　对任给，只要，就有则称求积公式(6.1.3)是(数值)稳定的.定义表明只要被积函数f(x)的误差充分小，积分和式的误差限就可任意小，则(6.1.3)就是数值稳定的.定理1.2