一种半隐式有限体积 有限元方法的稳定性new

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1、第31卷第6期中
国
科
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技
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学
学
报Vol.31,No.62001年12月JOURNALOFCHINAUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYDec.2001文章编号:0253
2778(2001)06
0641
08一种半隐式有限体积-有限元
方法的稳定性1,21汪继文,刘儒勋(1.中国科学技术大学数学系,合肥230026;2.安徽大学计算机科学与工程系,合肥230039)摘要:研究非线性对流扩散问题的一种半隐式有限体积和有限元方法相结合的离散方法,给出了数值解在

2、几种不同的度量下的稳定性及其证明.关键词:对流扩散方程;有限体积方法;有限元方法;稳定性中图分类号:O241.82


文献标识码:AAMSSubjectClassification(2000):65M120
引言对流扩散方程是描述有粘可压缩流Navier
Stokes方程的最简单模型,广泛应用于流体力学、气动力学、环境保护、化学工程等领域,因此,研究求解该方程的数值解有重要意义.求以散度形式表示的偏微分方程的数值解大致有两种常用的方法,即有限元方法(FE)和80年代发展起来的有限体积方法(FV).有限元

3、方法对应于能量方法,自然地导出了椭圆和抛物即扩散问题的单元离散方法.有限体积方法,从积分守恒形式出发,采用单元剖分,选择控制元离散,通过引入以Riemann问题近似解为基础的数值流通量,以一种自然的方式反映出流体力学中的质量、动量、能量等物理量的守恒规律,可以很好地处理非线性守恒律问题.把这两种方法相结合,充分发挥它们的特点,非线性对流项利用FV方法逼近,而扩散项利用有限元方法离散,可以更好地求解对流扩散方程的初边值问题.对这种对流扩散方程的FV
FM方法,在[1,2]中证明了一种Euler型时间离散的半

4、隐式FV
FM格式的收敛性和误差估计结果,本文给出一种Crank
Nicolson型时间离散的半隐式FV
FM格式的稳定性及其证明.1
对流扩散方程的有限体积法和有限元方法相结合的一种半隐式离散方法22设
R是多边形有界区域,x=(x1,x2)R,记QT=
(0,T)(0

5、生,副教授.
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2













中国科学技术大学学报













第31卷2fi(u)ut+∀-a#u=g(x,t),
(x,t)QTi=1xi(1)u=0,
(x,t)
(0,T)0u(x,0)=u(x),
x
11,q0其中,a>0为给定的常数,fiC(R),满足fi(0)=0,gC([0,T];W(
)),u1,pW0(
),这里p,q>2.1为给出方程的弱形式,记V=H0(
),用vV乘方程的两端,并利用Green公式,得到2dvuvdx-∃f

6、i(u)dx+au%vdx=gvdx.(2)dt∃

∀i=1xi∃
∃
2v记b(u,v)=-∃fi(u)dx,(u,v)=uvdx,((u,v))=u%vdx,则问题(1)
∀i=1xi∃
∃
的弱解为满足下列条件的函数u:2!a)uL(0,T;V)&L(QT),db)(u,v)+b(u,v)+a((u,v))=(g,v),vV,以(0,T)上分布的意义成立,(3)dt0c)u(0)=u.[1]中已经证明了问题(3)的解存在唯一.设Th是
的一种正则无结构三角网格剖分(这里把它称为基

7、础网格),T为剖分的三角形单元,P={Pi,iJ}表示所有剖分单元的顶点集,其中J表示指标集合.记J={iJ;Pi
}.令hT和T分别表示剖分单元T的最大边长和最小内角,且h=maxhT,h=minT.TTTThh在基础网格Th上,定义相应的有限体积多边形辅助网格Dh={Di,iJ},其中,Di表示包括点Pi的多边形,该多边形是由包含顶点Pi的所有三角形单元的重心与各边中点的连线围∀#∀成.记!ij=Di&Dj,则!ij是由一条或两条线段!ij构成,即!ij=∋∀=ij1!ij,当Di和Dj

8、都交于区域
的边界时,#ij=1,否则#ij=2.令s(i)表示辅助单元Di的所有相邻多边形,如果点Pi
,则记S(i)=s(i)∋{-1},因此,可以得到,对任意的DiDh,有Di#∀=∋jS(i)!ij=∋jS(i)∋∀ij!ij.为了得到b(u,v)的有限体积逼近bh(u,v)的形式,需要引入数值流通量H(u,v,n),其中n=(n1,n2)表示Di的外法线方向.数值流通量H(u,v,n)满足性质:对u,v