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1、第26卷第2期应用力学学报Vol.26No.22009年6月CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICSJun.2009文章编号:10004939(2009)02029707*工程中的随机有限元方法王建军于长波李其汉(北京航空航天大学100083北京)摘要:随机有限元法是在传统有限元法基础上发展起来的用于解决随机问题的一种有效的数值方法,近年来得到了广泛的关注和发展。在总结了国内外大量相关文献的基础上,对最近一段时期随机有限元方法的研究情况进行了较为详细的评述和讨论,首先给出了各种随机场的离散模型,然后对各种相关的研究方法和研究进展进行
2、了系统总结,最后对随机有限元中尚需完善发展的几个问题进行了讨论。关键词:随机有限元法(SFEM);随机场;离散模型;灵敏度分析中图分类号:O342文献标识码:A虑高阶项,这使得计算量迅速增加,且随之而产生的1引言久期项问题也无法克服。为了从根本上避免摄动方法的缺陷,提出了基于随机变分原理的有限元方随机有限元法(StochasticFEM)是计算随机力法。文献[67]提出了适用于各响应场相互独立情学的一个重要分支,这种方法是将随机分析理论与况的随机变分原理,并将随机场插值的概念引入随有限元方法相结合,在传统的有限元方法基础上发机有限元分析中;文献[8]以Ka
3、rhunenLoeve展式展出一种随机的数值分析方法,既可以处理结构参为基础建立了随机变分列式和有限元列式,研究了[12]数随机问题,也可以处理系统输入随机问题。随这类随机有限元方法的收敛性和误差界;到上世纪机有限元法诞生于20世纪70年代。最初,将90年代,文献[9]在其专著中将结构的响应用随机[3]MonteCarlo模拟方法与有限元法直接结合,对变量的正交多项式展开,提出了一种随机有限元谱大量的随机样本使用传统确定性有限元程序进行计方法的思路;文献[10]全面阐述了确定性有限元与算,然后再对计算结果进行统计分析。对于规模较随机有限元之间的关系,并以随机变分原理为
4、基础,大的结构,这种方法计算成本很高,效率低下。为了详细讨论了静力、动力随机有限元和随机灵敏度分克服模拟法的上述缺点,提出了基于摄动技术的随析。至此,随机有限元方法初步形成了一定的理论[45]机有限元法。这种方法简单易行,应用广泛,在体系。其基本框架内还衍生出如Neumann展开法、预条几十年来,国内外的学者曾多次对随机有限元件共轭梯度法以及变异响应函数法等一些其它的随方法的发展状况进行了评述。文献[11]介绍了随机机有限元方法。但是当随机参数的变异程度增大场的基本理论,给出了一维均匀随机场的离散方法,时,刚度和位移的低阶展开表达式的精度将不再满并对工程中的载荷与材料特性
5、随机问题进行了讨足要求,特别对于非线性结构,摄动展式中必须要考论。文献[12]根据不同的计算目的将随机有限元法*来稿日期:20071022修回日期:20080317第一作者简介:王建军,男,1956年生,北京航空航天大学能源与动力工程学院,教授;研究方向航空发动机强度振动和可靠性。Email:wangjjb@263.net298应用力学学报第26卷划分为计算反应矩的随机有限元和可靠度随机有限上既包含场域的几何空间剖分,也包括关于概率空元,对前者的研究进展进行了论述,并大胆地预测了间的子空间分解。前者是将随机场也划分成网格,如随机有限元法的发展趋势:从随机微
6、分方程着手,通形函数法、中点法、局部平均法和加权积分法等;后过某种离散化将结构的随机性质表现在有限元列式者的做法则是将随机场展成级数,故而也称为谱分中,建立真正的随机有限元法。文献[1316]曾分解,如KarhunenLoeve分解,正交多项式展开法等。别从不同的角度对随机有限元方法的研究进行了综1)谱方法述。其中,文献[1314]从计算内容出发,给出了建KarhunenLoeve级数展开立随机有限元的基本原理;文献[1516]则以获得控将随机场H(x)进行KarhunenLoeve级数展[9]制方程的途径为基础,对相关的研究进行了全面的开为概括,并
7、展望了未来的发展趋势。然而近年来随机H(x)=H(x)+Xiifi(x)(3)有限元法又得到了进一步的发展,人们提出了一些i=0式中:H(x)为随机场均值;为随机场的标准差;更为先进的思路和方法,更好地解决了一些问题。i、fi(x)分别是相关函数的特征值、特征函数。本文综合了随机有限元法的一些近期的研究成果,文献[19]直接推导了指数衰减模型特征方程的首先给出了随机场的各种离散方法,然后根据不同解析解,文献[20]利用均方误差最小化方法,通过多的随机变量的处理方法,对随机有限元的研究进展重Fourie
