基于递推随机有限元法的结构可靠度研究new

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1、http://www.paper.edu.cn基于递推随机有限元法的结构可靠度研究112黄斌，赵毅，刘军1武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉(430070)2保利（武汉）房地产开发有限公司，武汉(430074)E-mail：zhaoy221@163.com摘要：将递推随机有限元法与验算点法结合，提出了一种基于递推随机有限元法（RSFEM）的随机结构可靠度指标的计算方法。数值结果表明，通过与基于Taylor展开的低阶摄动随机有限元方法做比较，可以发现新的数值方法能够对随机结构的可靠度指标进行更精确的逼近。其结果与MC模拟结果也非常地吻合，从而论证了基于RSFEM的随机结构可靠度指标计算方法

2、的合理性和有效性。关键词：可靠度指标，递推随机有限元法，随机结构，验算点法中图分类号：TU241．引言对于复杂结构的可靠性分析，人们自然想到可靠性理论和有限元方法的结合，而工程结构由于制造条件、材料参数、几何尺寸、边界条件等诸多不确定因素的存在，使得结构分析时有必要考虑这些因素对结构造成的影响。结构可靠性经历了20世纪80、90年代的体系可靠度理论研究以来，其基本理论框架与方法己渐趋成熟，并逐步应用于处理工程实际问题。然而，对于复杂随机结构的可靠度计算，由于其响应及功能函数不能被显式地表达而需要借助[1]于随机有限元方法来实施。可靠度计算中采用的随机有限元方法主要有蒙特卡洛模拟方法、摄动法

3、(PSFEM)、Neumann扩展法以及谱方法等。本文采用一种新的随机有限元分析方法－递推求解方法[2]-[3](RSFEM)，该方法将随机结构的随机响应表示成非正交多项式展式。将递推求解方法和验算点法相结合，提出了计算随机结构静力位移可靠指标的新方法。2．随机响应的非正交多项式展开本文采用如下非正交多项式展式表示随机响应:∞∞i1ux()=+ux00()ϕ∑∑uxii11()()ϕξ1+∑uxi1ii21()(,)ϕξξ2i2ii11==11i2=1(2.1)∞ii12++∑∑∑uxiii123()(,,)ϕξξξ3i1i2i3Liii123===111式子中，ϕ()⋅为非正交多项式，如

4、果将上式逐项展开，又可以写为n∞ux()=∑akkψ()ξ(2.2)k=0式子中ψ()ξ是ϕ()⋅的逐项展开对应表达式。kn3．随机结构静力位移的可靠度结构的极限状态方程有n+1个相互独立的正态随机变量组成，结构位移特征值利用非正交多项式展开：-1-http://www.paper.edu.cnnnkuuuu=+−+()00ξξξ(∑∑kku+∑kjkξuj+kk==11j=1(3.1)nkjjnkl∑∑∑ξξξkjlkuujl+∑∑∑∑ξξξξkjlmkjlm)kjl===111kjlm====1111其中，ξ,,,ξξξ分别为标准正态随机变量，kjlm∞ux()=∑akkψ()ξ(3.

5、2)k=0式子中ψ()ξ是ξ,,,ξξξ的逐项展开对应表达式。kkjlm所以，此时结构极限状态方程可以表示为：nnkuuuu=+−+()00ξξξ(∑∑kku+∑kjkξuj+kk==11j=1(3.3)nkjjnkl∑∑∑ξξξkjlkuujl+∑∑∑∑ξξξξkjlmkjlm)kjl===111kjlm====1111式子中u表示可变荷载效应的确定性部分，ξ为标准正态随机变量，u一阶展开对应0表达式。则极限状态方程(4.6)在坐标系OXX⋅⋅⋅X中表示为：12nZg=(,,,,)0ξξξLξ=(3.4)12n利用“验算点法”，此时可靠指标β是标准正态坐标系OXX⋅⋅⋅X中原点O到极限状

6、12n*态曲面的最短距离，也就是P点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点O的长度，*与两个正态随机变量情况相同，法线的垂足P为“设计验算点”。**极限状态曲面在P点的法线OP对坐标向量的方向余弦为(关于OXX⋅⋅⋅X坐标系12n的方向余弦与关于原OXX⋅⋅⋅X坐标系的方向余弦相同)12ncosθ=cosθξiξi−∂g/∂ξσiP*ξ=i(3.5)n21/2[(/∑∂∂gξσiP*ξi)]i=1上式当中，偏导数可以归纳为下面的一些算子(其中i为偏导数向量顺序)：1、一次项的偏导数：⎧1ifk=iξ=⎨k⎩0ifk≠i2、二次项的偏导数：-2-http://www.paper.edu.c

7、n⎧2&ξifk==ijij⎪⎪ξifk=≠i&jijξ=⎨kj⎪ξifk≠=i&jik⎪⎩0&ifk≠≠iji3、三次项的偏导数：⎧0&ifk≠≠≠iji&li⎪2&ξξifk==≠iji&jl⎪kl⎪3&ξ2ifk===iji&jlk⎪2⎪ξifk=≠=i&&jijll⎪ξξ==⎨ξifkijijl&&≠≠kjljl⎪ξξifk≠=≠i&&jijl⎪kl⎪2&ξξifkijijl≠==&kl⎪⎪ξξifk≠≠=i&&