一种四级半隐式随机runge-kutta方法

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1、2013年3月高等学校计算数学学报第35卷第1期一种四级半隐式随机Runge．Kutta方法严刚峰(成都大学电子信息工程学院，成都610106)黄显核(电子科技大学自动化工程学院，成都610054)AF0URSTAGESEMI—IMPLICITST0CHASTICRUNGE—KUTTAMETH0DYahGangfeng(SchoolofElectronicInformationEngineering，ChengduUniversity，Chengdu610106)HuangXianhe(InstituteofAutomationEng

2、ineering，UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina，Chengdu610054)AbstractInthispaper，afour—stagesemi—implicitRunge—Kuttamethodwithstrongorder1．5ispresentedforthestrongsolutionofStratonovichstochasticdiferentialequations．Thatisgotbyusingbi—coloredrootedmethods．Th

3、emean—squarestabilitypropertiesandcomputationprecisionofthemethodarediscussed．Thestabilitypropertiesandnumericalresultsarebetterthanthatofequivalenceorderexplicitmethod，whichindicatesthatthemethodhasverystrongutilityvalue．KeywordsStratonovichstochasticdiferentialequatio

4、ns，bi—coloredrooted，Runge—Kuttamethod，mean—squarestability．AMS(2000)subjectclassifications65M06中图法分类号O241国家自然科学基金项目(11205022)收稿日期：2009—09一O1．2013年3月高等学校计算数学学报1引言对于大多数的工程实际问题，一般都是采用确定性微分方程来描述和研究的．然而在工程实际中，含有随机因素是不可避免的．如果仍然采用确定性微分方程来研究，那么只有对相应的微分方程进行摄动，或者其它的近似方法来分析．要想更加准确

5、地研究含随机现象的工程实际问题，还是要对建立的确定性模型引入随机项，进而建立相应的随机微分方程，并进行求解．但是除了极少数类型的线性方程可以得到解析解，绝大多数的随机微分方程都很难得到解析结果_1]．因此研究有效的数值方法来求解随机微分方程具有重要的实际意义．目前，随机微分方程的数值方法主要还是运用随机Taylor展开的表达式，通过算法的阶条件来构造相应阶数的随机Runge—Kutta方法．MaruyamaG构造了一类低阶的随机Euler方法[2】，MilsteinGN则构造了低阶的随机Milstien方法[3]，BurrageK构造

6、了一类四级显式随机Runge—Kutta方法f41和TianTH构造了一类二级隐式随机Runge—Kutta方法[5]，张诚坚也得到了一类二级隐式随机Runge—Kutta方法[6]，WangP则构造了一类三级半隐式随机Runge—Kutta方法_7]．本文针对Stratonovich型随机微分方程，采用双色有根树理论『8,9]构造一类四级半隐式强1．5阶的随机Runge—Kutta方法．通过分析了该方法的均方稳定性以及数值结果，表明该方法具有更好的数值结果．2It6型随机微分方程与Stratonovich型随机微分方程由于Strat

7、onovich型随机微分方程在微分形式上的便利性，本文采用Stratonovich型随机微分方程来推导四级半隐式随机Runge—Kutta方法，下面简要叙述It6型随机微分方程与Stratonovich型随机微分方程的关系，考虑如下随机积分的近似和的极限表达形式Ⅳ)dw@)=Ⅳlimn)[．1)]·(1)。。。式中=At+(1一a)t一1，(∈[0，1])，{(￡)，t0)为Wiener过程，对于不同的取值，可得到对应不同类型的随机微分方程，当取=0时，所对应的即是It5型随机微分方程，记作dy(t)=f(t，y(t))dt+g(t，

8、y(t))dw(t)(2)当取A=1时，所对应的即是Stratonovich型随机微分方程，记作dy(t)=f(t，y(t))dt+g(t，())0dw(t)(3)严刚峰等：一种四级半隐式随机Runge—Kutta方法第