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1、学校代码10530学号201590110065分类号O241.81密级博士学位论文高效随机Runge-Kutta方法学位申请人唐晓指导老师肖爱国学院名称数学与计算科学学院学科专业数学研究方向微分方程数值解二〇一八年五月三十日高效随机Runge-Kutta方法学位申请人唐晓导师姓名及职称肖爱国教授学院名称数学与计算科学学院学科专业数学研究方向微分方程数值解学位申请级别理学博士学位授予单位湘潭大学论文提交日期2018-05-30EfficientstochasticRunge-KuttamethodsCandidateXiaoTangSupervisorProf.AiguoXiaoCollegeS
2、choolofMathematicsandComputationalScienceProgramMathematicsSpecializationNumericalSolutionofDifferentialEquationsDegreePh.D.degreeofScienceUniversityXiangtanUniversityDateMay30th,2018摘要本文主要研究随机微分方程的高效随机Runge-Kutta方法.通过引进一些新的技巧,构造了一系列新的随机Runge-Kutta方法,理论分析和数值结果均表明新方法是高效的.在第一章,首先介绍了随机微分方程及其相关数值方法,接着回顾了
3、一般随机Runge-Kutta方法及其阶条件结果,最后概括了本文的主要工作和内容安排.在第二章,针对Stratonovich型随机微分方程,通过引进一些新的技巧,构造了一系列新的高阶强收敛随机Runge-Kutta方法.与现有的著名随机Runge-Kutta方法相比,新方法所需要求解的阶条件方程数目更少且形式更简单.另外,数值结果表明,新方法在计算效率方面也更具优势.随机微分方程的高阶强收敛方法的实现中面临的一个困难而关键的问题是多重随机积分的高效计算.在第三章,针对一些2阶强收敛方法中所使用的随机积分,基于Wiener过程的Karhunen-Loève展开,在均方收敛的意义下找到了它们的最优
4、逼近.与现有的随机Fourier级数方法以及随机Taylor方法相比,我们的最优逼近方法更高效.数值结果表明,使用了我们的最优逼近方法后,2阶方法的实际计算效率高于1.5阶方法.在第四章,针对小噪声随机微分方程,利用随机带根树理论获得了关于一般s级随机Runge-Kutta方法全局误差的估计结果.根据此估计结果,构造了一系列新的高精度随机Runge-Kutta方法.值得一提的是,这些高精度随机Runge-Kutta方法并不需要使用那些难以模拟的多重随机积分.数值结果表明,与现有的求解小噪声随机微分方程的随机Runge-Kutta方法相比,新方法的计算效率更高.在第五章,针对多维乘性噪声的Itô
5、型随机微分方程,构造了一类新的2阶弱收敛随机Runge-Kutta方法.与现有的著名2阶弱收敛随机Runge-Kutta方法相比,新方法的阶条件更简单且计算成本更少.在第六章,针对刚性随机微分方程,通过将二阶正交Runge-Kutta-Chebyshev方法与第二章和第五章中的新方法相结合,获得了新的显式稳定的强收敛或弱收敛随机Runge-Kutta方法.与现有的基于Chebyshev多项式的随机显式稳定方法相比,新方法在稳定性和计算成本两方面都具有一定的优势.关键词：随机微分方程;随机Runge-Kutta方法;强收敛;弱收敛;随机积分;小噪声;显式稳定方法.IAbstractThisthe
6、sisfocusesontheefficientstochasticRunge-Kutta(SRK)methodsforstochasticdifferentialequations(SDEs).VariousnewSRKmethodsareconstructedbasedonsomenewtechniques.What’smore,thetheoreticalanalysisandthenumericalresultsshowthatthenewmethodsareefficient.Inchapter1,somebackgroundandprogressontheSDEsanditsrelatedn
7、umericalmethodsareintroduced.Moreover,ageneralclassofSRKmethodsanditsorderconditionsarereviewed.Finally,wemakeanoutlineaboutthemainworkofthisthesis.Inchapter2,basedonsomenewtechniques,variousnewSRKmet
