传统隐式Runge-Kutta方法的转换方法

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1、第45卷第16期数学的实践与认识Vo1．45．NO．162015年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYAug．，2015传统隐式Runge-Kutta方法的转换方法汪芳宗，廖小兵，谢雄(三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌443002)摘要：多级隐式Runge—Kutta(RK)方法簇中，除Gauss类方法是s级2s阶的辛方法以外，Radau类方法和Lobatto类方法既不是s级2s阶的方法也不是辛方法．基于隐式RK方法是一类转换RK方法这一特征，利用V一变换和Pa对角逼近，提出了构造高阶R

2、K方法的转换定理．依据转换定理，导出了s级2s阶的Radau方法和S级2s阶的Lobatto方法．利用V一变换和待定系数法，导出了辛Radau方法和辛Lobatto方法．在此基础上，发现并证明了辛Radau方法是s级2s阶的方法．关键词：隐式RK方法；转换RK方法；V一变换；Pad@逼近；辛方法1引言工程领域中绝大多数随时问演变的物理现象或过程，主要是采用各种复杂的常微分方程来描述．有关常微分方程数值计算方法的研究，既是数值分析计算领域中较古老的一个分支，也是众多工程计算领域中经常涉及的一类重要课题．早期的常微分方程

3、数值计算方法主要是采用数值积分方法．迄今为止，研究人员已提出了种类繁多的数值积分方法，其中最有代表性的数值积分方法应该是Runge—Kutta(RK)方法簇[1-3]．早在上世纪60年代，为研究多级隐式RK方法的计算精度即阶数，Butcher提出了根树(rootedtrees)结构理论，并在此基础上提出了著名的Butcher基本阶定理[1{3]．上世纪70年代，Hairer和Wanner在根树结构理论的基础上，提出了B级数(B—series)的概念，并证明了B一级数的组合定理，应用这种定理可以建立各类RK方法的阶条件

4、(orderconditions)[]．关于多级隐式RK方法的线性稳定性分析，研究人员应用指数函数的Pad6逼近理论[1J3]，证明了传统的多级隐式RK方法均是A一稳定的．上述研究结果完整地建立了多级隐式RK方法的理论基础体系．因此，RK方法发展到上世纪80年代末，可以说基本上画上了一个句号．然而在1984年，冯康先生首次系统地提出了哈密尔顿(Hamilton)系统的辛几何算法[4-6](symplecticgeometrymethod)．与传统的数值积分方法相比较，辛算法在数值稳定性与长时间跟踪能力方面具有独特的优

5、势．受冯康先生相关研究结果的启发，Sanz—Serna于1988年率先提出并证明了RK方法是辛方法的充要条件_7J1由此引发了研究辛RK方法的热潮．随后，孙耿利用Hairer所提出的w一变换(w—transformation)[01导出了s级2s一1阶的辛RadauIB和辛RadauIIB方法Is-9J同时发现LobattoIIIE方法是8级2s一2阶的辛方法_8J．迄今为止，研究人员已将RK方法辛几何收稿日期：2015—01一i0资助项目：国家自然科学基金(50977052，51377098)16期汪芳宗，等：传统

6、隐式Runge—Kutta方法的转换方法173化，建立了完整的辛RK系列方法．本文分析、推导了转换RK方法[10-11】的特性，在此基础上提出了构造高阶RK方法的转换定理．依据转换定理，导出了s级2s阶的Radau方法和8级2s阶的Lobatto方法．利用一变换[12-13]和待定系数法，导出了辛Radau方法和辛Lobatto方法．有趣的是，本文利用V一变换所导出的辛Radau方法与孙耿利用w一变换所导出的辛Radau方法是一致的，所导出的辛Lobatto方法即是LobattoIIIE方法．但从计算结果发现：辛Ra

7、dau方法与本文利用Pad6；~角逼近所导出的s级2s阶的Radau方法是一致的．由此可知：RadauIB和RadauIIB方法并不是s级2s．1阶的辛方法，而是s级2s阶的辛RK方法．2隐式RK方法与转换RK方法一个s级的RK方法可以写成Butcher表I】形式C1a爷11。a1●：Csns1⋯0ssb1⋯b=㈤f一一卜书1IPcA=*Pe—=P曲cA(5)6一传统的多级隐式RK方法主要包括3个系列：Gauss类方法；Radau类方法；Lobatto类方法．其中，Radau类方法又可以分为RadauIA和Radau

8、IIA方法，而Lobatto类方法可以分为LobattoIIIA，LobattoIIIB，LobattoIIIC方法．Gauss类方法满足简化阶条件B(2s)，c(s)，D(s)，是s级2s阶的对称方法．RadauIA方法满足B(2s一1)，c(s一1)，D(s)，而RadauIIA方法满足B(2s一1)，C(s)，D(s一1)，两者均是s级2