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1、《数学模型》实验报告实验名称：如何预报人口的增长 成绩：___________实 验 日 期： 2009 年 4月 22日实验报告日期： 2009 年 4月 26日 一、实验目的 预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。二、实验内容根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r,变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp
2、(rt)。三、实验环境 MATLAB6.5四、实验步骤为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt),àlnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a=lnx0,所以可得y=rt+a。根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果之间的图形，看结果如何。利用1790-1900年的数据进行
3、试验，程序如下：t=linspace(0,11,12);x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2))plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下：t=linspace(0,21,22);x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2
4、,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2))plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')五、实验结果以1790年至1900年的数据拟合y=rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象:以1790年至2000年的数据拟合y=rt+a，用软件计算可得r=0.2022/1
5、0年，x0=6.0450,下图为拟合的图象:六、实验讨论、结论从图形1中可知，此模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，因为+号基本上都在线上，说明拟合成功。从图形2中可知，进入了20世纪以后，美国人口增长明显变慢，+号和曲线偏离很远，说明此模型已不在适用。对未来预报人口有很重要的作用，比如采取措施来实行计划生育等有关问题。七、参考资料马尔萨斯 美国一百多年的人口统计资料：年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.2
6、31.4年18701880189019001910192019301940人口38.6502.62.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4
