一类具有分布式记忆的带跳随机延迟微分方程半隐式欧拉数值解的收敛性-论文.pdf

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1、第3l卷第2期工程数学学报Vo1．31No．22014年04月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSApr．2014文章编号：1005—3085(2014)02—0215—14一类具有分布式记忆的带跳随机延迟微分方程半隐式欧拉数值解的收敛性杜颖，梅长林(西安交通大学数学与统计学院，西安710049)摘要：带泊松跳的随机延迟微分方程因其众多的应用背景而得到了广泛的关注，但目前的研究大多都假定其中的延迟项是离散的．考虑到连续延迟或称为分布式记忆延迟存在于许多实际问题中，本文将分布式记忆项引入到带跳的随机微分方程中，研究了一类具有分布

2、式记忆项与泊松跳的随机微分方程的数值解问题．构造了该方程的半隐式欧拉数值解，证明了方程的解析解与半隐式欧拉数值解的高阶有界性，并在局部Lipschitz条件下证明了半隐式欧拉数值解的均方收敛性，并且通过数值算例验证了结论的正确性．关键词：泊松跳；分布式记忆项；半隐式欧拉方法；局部Lipschitz条件；均方收敛性分类号：AMS(2000)65C20；65C30中图分类号：O211．63文献标识码：A1引言在众多领域中，随机微分方程是解决许多实际问题的一个强有力工具．近十多年来，考虑到时滞性与突变的发生所带来的影响，带跳的随机延迟微分方程已经受到学者的普遍关注和广泛研

3、究．在一般情况下，带跳的随机延迟微分方程的解析解很难获取，因而研究其数值解及其收敛性就成为一个热点研究方向，并取得丰富的研究成果．例如，Wang等【】证明了带跳随机延迟微分方程的半隐式欧拉数值解均方收敛性；Mao[2]进一步研究了带跳随机变延迟随机微分方程的半隐式欧拉数值解的均方收敛性；Jiang等[3]讨论了带跳随机延迟微分方程的Taylor近似解的收敛性．另外，在局部L~pschitz条件下，Li等【】证明了带跳的随机延迟微分方程的欧拉数值解在局部区间的均方收敛性以及在整个区问以概率收敛到解析解；Jacorb等[5】给出了带跳随机变延迟微分方程的欧拉数值解的均方

4、收敛阶为1／4；Bao等[0]把欧拉数值方法应用到带跳随机常延迟微分方程，证明了其均方收敛阶接近于1／2．这些文献只考虑了离散的延迟项，即过去某个时刻状态或某些时刻状态对当前状态的影响．在许多实际问题中，从过去某一时刻开始的每一时刻状态都会影响当前状态，在这种情况下考虑连续的延迟项f或者称为分布式记忆项)更贴合实际．一方面，分布式记忆项在一般的随机微分方程中已经得到了应用，并且针对获取这种随机微分方程数值解的研究也得到了不少的成果[7-加]；另一方面，据我们收稿日期：2012—07-13．作者简介：杜颖(1982年11月生)，女，博士．研究方向：随机微分方程216工

5、程数学学报第31卷所知，针对引入了分布式记忆项的带跳的随机延迟微分方程及其数值解的研究还几乎没有．因此，本文将在带跳的随机延迟微分方程中引入分布式记忆项，研究这类随机微分方程的半隐式欧拉数值解以及数值解在局部Lipschitz条件下的均方收敛性．2具有分布式记忆项与泊松跳的随机微分方程设(Q，，{)t【0，T】，P)是一个完备的带滤子的概率空问，其中是一个递增的右连续的Gr一域流，且含有所有的一零概集．另外，设w(t)是m维布朗运动，并且可测，N(t)是强度为入的一维泊松过程．本文所研究的具有分布式记忆项的带跳随机延迟微分方程(简记为SIDEJ)的形式如下：fdx(

6、t)=f(t，(t)，y(t))dt+9(t，(t)，y(t))dm+h(t，z(t)，())dⅣt，t∈[0，T】，(1)【(￡)：∈(￡)，t∈[一7-，0]，其中rty(t)：／(1s1x(s))dst—为分布式记忆项，7->0是给定的常数．假设下列条件满足；(i)初值(t)：[一7-，0]满足E(、sE【u)l)0．(ii)(局部Lipschitz条件)存在常数Ld>0，使得对于任意的t，t∈[0，]，tl，t∈[一T

7、】以及满足lXklVlYkId(k=1，2)的Xk，Yk∈，都有l-，(t，，Y)一f(t，2，Y)I+l9(t，，Y)一g(t，，Y。)I+lh(t，X1，Y1)一h(t，2，y2)lL~(Ixl—X2l+IYl—Y21)，(3)IK(t，t，X)一K(t，t'l，。)lLd(1t—tII+lXl—x21。)．(4)(iii)(线性增长条件)存在正常数M，使对所有的t∈[0，]，tl∈[一7_，]及X，Y∈，有，(￡，，)I+I_9(t，，)I。+I(￡，，)l。M(1+II+lyl。)，(5)K(ttx)l。M(1+Ixl。)．(6)第2期杜颖，梅长林：一类