无穷区间上分数p-Laplacian方程边值问题正解的存在性-论文.pdf

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1、高校应用数学学报2014，29(2)：201．210无穷区间上分数P—Laplacian方程边值问题正解的存在性王金华，向红军(湘南学院数学系，湖南郴9’I,I423000)摘要：应用锥上的一个不动点定理，讨论了一类分数P—Laplacian方程在无穷区间上的m点边值问题正解的多重性、获得了该边值问题至少存在三个正解的充分条件，并举例说明了所得结果的有效性．关键词：分数P—Laplacian方程；无穷区间；边值问题；不动点定理；存在性中图分类号：O175．14文献标识码：A文章编号：1000．4424(2014)02—0201—10

2、§l引言近年来，分数微积分理论逐渐被证明在诸多领域都是比较有价值的应用工具(见文献f1_41及其中的参考文献)．因此，分数微分方程的研究越来越受到国内外学者们的关注，尤其是关于分数微分方程边值问题的研究，取得了很多有意义的成果[5-11】．随着分数微分方程理论的广泛发展，分数P-Laplacian方程的边值问题的研究也倍受关注【

3、14。，带P—Laplacian算子的微分方程的边值问题，在非牛顿力学，宇宙物理，血浆问题和弹性理论等很多领域都有着广泛应用．但由于分数阶P—Laplacian方程研究难度较大，文献的研究结果大多数限于有限

4、区间，无穷区间上的边值问题研究的文献不多见．如：文f11]考虑了如下问题：I．D札()+，(￡，(t))=0，t∈(0，。。)，∈(1，2)，【u(0)=0，Do％u(t)=()，其中，D为Riemann—Liouville分数导数，0<<+。。．本文考虑以下问题：tfD(。)((Du(t)))+a(tD)f~_(Ft，札乱㈤(t))==m0-，02

5、设学科基金202高校应用数学学报第29卷第2期其中，0<≤1，2<≤3，0<1<2<⋯<+。。，∑<1，0，(i=1，2，⋯，m一2)，D为emann．LiouVille分数导数，(s)=IsIp一s，P>1，(Cp)一=g，1+1=1．应用锥上的不动点理论，获得了该系统存在三个正解的充分条件，并举例说明所得到的理论的有效性．在本文中，总假设以下条件成立：(A1)，∈([0，+o。)×R)，[0，+。。))，f(t，0)在(0，+。。)的任何子区间上不恒等于0，且当乱有界时，f(t，(1+ta-1)u)也有界．(A2)a：【0，+。

6、O)一【0，+∞)在【0，+。。)的任何闭子区间上不恒等于0，且志。(s)。。．§2预备知识为了证明本文的主要结果，在这一节里，先给出本文所涉及的一些分数阶导数，分数积分的定义和一些基本命题．定义2．1【。】函数：[0，+。。)一R的Q>0次的Riemann-Liouville分数积分为：(t)=志_s)a-ly(s)ds’上式右端在【0，+。。)内逐点有定义．其中，r是欧拉Gamma函数，定义如下r(s)=／，十o。ts-1e_dt，s>0．J0定义2．2【。】函数：【0，+∞)一R的阶Riemann_Liouville分数导数为

7、：D(t)L_()“／0(t-s)n-c~ly(s)ds，其中，r是欧拉Gamma~数，佗=IQl-}-1，表示的整数部分，上式右端在【0，+oo)内逐点有定义．特殊地有：Dt。-1=t一_。，一y>0．引理2．IIn】设>0，U∈c(o，∞)nL(O，。。)，则分数微分方程D(￡)=0有唯一解u(t)：C1t。一+CT2。一0+⋯+CNt一Ⅳ，其中，∈R，i：1，2，⋯Ⅳ，，N：+1．引理2．2【ll】设>0，∈c(o，∞)nL(O，。。)，且D∈c(o，。。)nL(O，∞)，则r+D(￡)：u(t)+一+一。+⋯+CNt。一Ⅳ，

8、其中，G∈R，i=1，2，⋯Ⅳ，N：+1．定义2．3设E是Banach空间，PCE是一个锥，是JF)上的非负连续凹泛函，给定常数6，d，r>0，定义凸集：P(，b，d)=<∈Rib()，IlIl≤d}，P=u∈PIIlulIr)，={∈PlllulJ<7')．王金华等：无穷区间上分数p_Laplacian方程边值问题正解的存在性203引理2．3【】(Leggett—Williams’不动点定理)设P是Banach空间E中的一个锥，：_c一_c是全连续映射，是P上满足(u)lI，Vu∈Pc的非负连续凹泛函．如果存在常数0

9、C，使得：(i)u∈P(，b，d)l~o(u)>6)≠，且当乱∈P(，b，d)时，有()>b；(ii)Vu∈Pn，有IITull<0；(iii)对Vu∈P(T，b，c)，且IITull>d，有()>b，则至少存在三个不动点1，钆2，U