带有时滞的合作系统的生态——流行病模型的Hopf分岔研究-论文.pdf

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1、第22卷第1期呼伦贝尔学院学报No．1V01．22垫；；!±三旦一一。；。』2坚璺垒!垡．旦坚!坚些宝鎏三．垡2l!星壁；．。。璺b!i2丛鲤i坠l星塾型兰圣坠竺带有时滞的合作系统的生态一流行病模型的Hopf分岔研究万阿英包淑华(呼伦贝尔学院数学科学学院内蒙古海拉尔区021008)摘要：建立了带有时滞的合作系统的生态一流行病模型，通过的唯一正平衡点的特征方程的讨论，可以得到在正平衡点处正平衡点的局部稳定性和Hopf分岔的存在性。关键词：时滞；局部渐进稳定性；合作系统；Hopg分岔中图分类号：0175．15文献标识码：A文章编号：l009．460l(2014)01．01

2、05．031．引言化后仍用x，y表示x”，得传染病在自然界和人类生活中广泛存在，对它的控制和预防一直是政府和相关部门关注的问f瓤f)=，i雄)[1一缸f—r)+回，(f)]题，因此，对疾病流行规律的把握就显得尤为重{灭f)=吒y(f)[1+己叹f)一少O)]一／砂O)zO)(2)要。由于流行病必然在物种之间传播。所以应该【三(f)=励O)z(f)一a(f)把种群动力学和流行病动力学结合起来考虑。文[1_4】研究了疾病在两竞争种群中传播的模型，文【5】2．正平衡点的稳定性和Hopf分叉的研究研究了带有时滞的合作系统的稳定性和Hopf分考虑到生态学意义，我们仅仅研究系统(

3、1)岔。的正平衡点的稳定性。本文着重研究合作系统中具有传染病的生态假设日：0<‘<1，口6—1>O流行病的模型，考虑合作者一方具有传染病，且染病者会因病死亡，假设只有健康的物种才能彼f1一x+掣(f)=o此合作互惠。但这种疾病一旦染上就不在康复。{吃[1+如(f)一y(f)】一∥z(f)=o其具体模型为I∥y(f)一c=olj∽=，i．《f)[1一qm一力+ct∥O)]令{火力=，纵f)[1+吩．《f)+ci础)卜／6少@)z(力(1)l三(f)=／6叭fMf)一c=(f)工’叫叫++万芳，∥y2。万2芳一一。‘芗。芳(1c+¨66++了警一一号万，卜，其中：x(f)

4、，y(f)合作系统中两物种在时刻t系统(1)有唯一的正平衡点E(矿，y幸，z半)的密度，‘(f=1，2)，口J(f=l，2，3，4)，∥，c都是正常令数。r为物种成熟时间。为了方便研究，令(1)中的工2q工，y2叫，简“l(f)=x(f)一x枣，“2(f)=夕(f)一y爿‘，“3(f)=z(f)一：木．收稿日期：2014—0卜10作者简介：万阿荚(1967一)女，汉，呼伦贝尔学院数学科学学院教授，博士。研究方向：微分方程稳定性理论和生物数学。基金项目：内蒙古自治区高等学校科学研究项目NJzzll230，内蒙古自然科学基金面上项目2013MsOl02．J五l(f)=‘[

5、(1一x‘+缈‘)“l(f)+口x’“2(f)一x’“l(f—f)】{西2(f)=吃砂’“l(f)+[吃(1+6x’一2y’)一∥z‘】“2(f)一∥y’“3(f)(3)I西3(f)=∥二‘“2(f)+(∥y’一c)“3(f)州f)_州1+手h(f_『)+州1+手h(f)(4)吲f)：，．z竽州f)_，：旁州f)-咣(f)虬㈩-，2(1+6+字一抄：㈤系统(4)的特征方程为冉芳冉瞰▲+6+警一旁一等c▲+芳m川+芳地肌警A+q卿+6+軎一丢，∥7=。c5，jr记，+0芳础0，芳筇喇舶O铲j‘舻rM(6等

6、1MⅢ(兄2+觑+(y一副+媚(A2+融+y)P啸=0(6)当丁

7、=0时，方程(6)为旯3+(占+a1)旯2+(，，一孝+口‘万)A+口y‘=0(7)当H成立时，由Routh—Hu刑itz判据可知(7)的所有根均具有负实部，即对于f=0正平衡态E是局部渐进稳定的。当f≠0时，五=iw是式(6)的根，当且仅当：△以f)=以名+躐+y一0+何∽+鼠+力一7=o(8)△(fW，f)=^“一∥+w拼+y一0+叫(一矿+w西+y)(coswr—fs试Ⅵf)={．∥万+叫[(．∥+力cos忻+谢如叫}+f川一增+q[访oOsM+(∥一力sinM】)=o分离实部和虚部得4_n吲(-∥+力cosM+，血叫=0(9)卜∥一Ⅵ孝+q[坩c0SⅥ+(∥一

8、力SiIl叫=o(∥+蝴2+(∥圆2=(吖)2[∥万2+(∥一y)2]w6+[2手+万2一(口‘)2]w4+[善2一(口‘)2万2+2(口‘)2／]w2一(口巧)2，，2=0设y=w2，乡l=2掌+62一(口巧)2五2=孝2一(口‘)2万2+2(口‘)2y，^3=一(口‘)2则日(J，)=y3+^ly2+^2y+^3=O由于日(0)