具有时滞的Lotka_Volterra模型的Hopf分支与数值模拟

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1、第11卷第15期2011年5月科学技术与工程Vol.11No.15May20111671—1815(2011)15-3366-07ScienceTechnologyandEngineering2011Sci.Tech.Engng.具有时滞的Lotka-Volterra模型的Hopf分支与数值模拟*贾艳丽陈斯养(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062)摘要研究了一类具有离散和分布时滞的Lotka-Volterra模型的稳定性和Hopf分支问题。由特征值理论且以时滞为参数，得到正平衡态局部渐近稳定的充要条件和Hopf分支存在的充分条件。根据中心

2、流形定理以及规范型理论，得到分支值附近分支周期解稳定性。用Matlab绘制出模型数值解的图像，验证了所得结论的正确性;并结合图形讨论了各参数变化对分支周期解的影响。关键词分布时滞Hopf分支分支周期解稳定性中图法分类号O211．65O175．7;文献标志码AMay讨论了具有离散时滞的捕食与被捕食dx1(t)t［1］dt=x1(t)［a1－b1x1(t)－c1∫－∞F(t－模型dx1(t)dx2(t)=x1(t)［a1－b1x1(t)－c1x2(t－τ)］s)x1(s)ds－d1x2(t－τ)］;dt=dt{dx2(t))］x2(t)［－a2+b2x1(

3、t－τ)－c2x2(t)］=x2(t)［－a2+b2x1(t)－c2x2(tdt(1)的稳定性和Hopf分支问题，其中x1(t)和x2(t)分别的稳定性及Hopf分支存在性，其中a1，a2，b1，b2，c1，表示食饵和捕食者在t时刻的种群密度，时滞τ≥0－αtc2，d1＞0，τ≥0，取弱核函数F(t)=αe，α＞0。表示食饵对捕食者种群增长率的反馈时间。［2，3］模型(1)满足初始条件:Yaneta研究了具有单个时滞的模型xi(s)=φi(s)≥0，s∈［－∞，0］，φi(0)＞0．i=1，2;dx1(t)dt=x1(t)［a1－b1x1(t－τ)－c

4、1x2(t－τ)］φi:［－τ，0］→［0，+∞)，φi∈C((－∞，0］，+{dx2(t))］R2)，supφ(s)＜∞(2)=x2(t)［－a2+b2x1(t－τ)－c2x2(ts≥0dt的局部稳定性和Hopf分支问题。1局部渐近稳定性本文讨论具有离散和分布时滞的Lotka-Volterra模型。若条件(a)a1b2＞a2(b1+c1)成立，则模型(1)有正平衡态***a1c2+a2d1a1b2－a2(b1+c1)2011年2月24日收到国家自然科学基金(10871122;X=(x1，x2)=(c(b+c)+db，c(b+c)+db)。211122

5、111260671063)资助t第一作者简介:贾艳丽(1986—)，女，硕士生，研究方向:生态数学。－α(t－s)dx3(t)*令x3(t)=∫αex1(s)ds，则dt=通信作者简介:陈斯养(1955—)，男，副教授，研究生导师，研究方－∞向:生态数学与数学建模。E-mail:chsy398@126．com。αx1(t)－αx3(t)。模型(1)可转化为15期贾艳丽，等:具有时滞的Lotka-Volterra模型的Hopf分支与数值模拟3367dx1(t)αfe－2iωτ+αf+αf=0。ì=x1(t)［a1－b1x1(t)－c1x3(t)－d1x2

6、(t－τ)］435ïdt分离实虚二部得ïïdx2(t)3í=x2(t)［－a2+b2x1(t－τ)－c2x2(t)］ωf4cos2ωτ－αf4sin2ωτ=ω－ω(f2+f3)ïdt(7){2)ïdx3(t)ωf4sin2ωτ+αf4cos2ωτ=f1ω－α(f3+f5ï=αx1(t)－αx3(t)422îdtω+(αf1－f2－f3)ω－α(f3+f5)解得cos2ωτ=22(3)(α+ω)f4*在式(3)中令y1(t)=x1(t)－x1，y2(t)=x2(t)－(8)****2=t得x2，y3(t)=x3(t)－x3，其中x3=x1，则模型(1)等

7、式(7)中两式平方相加并令ω32价于g(t)=t+h1t+h2t+h3=0(9)ìdy1(t)*式(9)中=(y1(t)+x1)［－b1y1(t)－c1y3(t)－d1y2(t－τ)］ïdth=f2－2(f+f)，h=(f+f)2－2αf(f+f)－1123223135ïïdy2(t)*f2，h=α2(f+f)2－α2f2。í=(y2(t)+x2)［b2y1(t－τ)－c2y2(t)］43354dtï112ïïdy3(t))在式(9)中令t=μ－3h1，p=h2－3h1，îdt=αy1(t)－αy3(t123(4)q=h3－h1h2+h1，得327模型

8、(4)的线性近似系统为3G(μ)=μ+pμ+q=0(10)ìdy1(t)引理1［5］方程G(μ