【新课标】书稿（14编）第二编函数与基本初等函数Ⅰ（四）二次函数.doc

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1、§2.4二次函数基础自测1.方程a2x2+ax-2=0(

2、x

3、≤1)有解，则（）A.

4、a

5、≥1B.

6、a

7、＞2C.

8、a

9、≤1D.a∈R答案A2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f(1)的范围是（）A.f(1)≥25B.f(1)=25C.f(1)≤25D.f(1)＞25答案A3.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么（）A.f(2）＞f(3)B.f(3)＞f(2)C.f(3)=f(2)D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定答案C4.若二次函数f(x)满

10、足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为（）A.f(x)=-x2-x-1B.f(x)=-x2+x-1C.f(x)=x2-x-1D.f(x)=x2-x+1答案D5.（2008·湖北理，13）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为.答案例1已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间［0，1］内有一最大值-5，求a的值及函数表达式f(x).解∵f（x）=-4-4a，此抛物线顶点为.当≥1，即a≥2时，f(x)取最大

11、值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1＜2(舍去).当0＜＜1,即0＜a＜2时，x=时，f(x)取最大值为-4a.令-4a=-5,得a=∈(0,2).当≤0,即a≤0时，f(x)在［0，1］内递减，∴x=0时，f(x)取最大值为-4a-a2,令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1，其中-5∈（-∞，0］.综上所述，a=或a=-5时,f(x)在［0，1］内有最大值-5.∴f(x)=-4x2+5x-或f(x)=-4x2-20x-5.例2设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1

12、和x2满足0＜x1＜x2＜1.（1）求实数a的取值范围；（2）试比较f(0)f(1)-f(0)与的大小，并说明理由.解方法一（1）令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得,故所求实数a的取值范围是（0，3-2）.（2）f(0)·f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2a2,令h(a)=2a2.∵当a＞0时，h(a)单调递增，∴当0＜a＜3-2时，0＜h(a)＜h(3-2)2(3-2)2=2(17-12)=2·即f(0)·f（1）-f（0）＜.方法二（1）同方法一.（2）∵f（0）f（1）-f（0）=f（0）g

13、（1）=2a2，则由(1)知0＜a＜3-2,∴4a-1＜12-17＜0.又4a+1＞0,于是2a2-=(32a2-1)=(4a-1)(4a+1)＜0,即2a2-＜0,即2a2＜,故f(0)f(1)-f(0)=2a2＜.方法三(1）方程f(x)-x=0x2+(a-1)x+a=0由韦达定理，得x1+x2=1-a,x1x2=a,于是0＜x1＜x2＜1故所求实数a的取值范围是（0,3-2）.（2）依题意可设g(x)=(x-x1)(x-x2)，则由0＜x1＜x2＜1,得f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=g(0)g(1)=x1x2(1-

14、x1)(1-x2)=［x1(1-x1)］［x2(1-x2)］＜故f(0)f(1)-f(0)＜.例3（14分）已知二次函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，且

15、AB

16、=2，它在y轴上的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围.解（1）方法一∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的对称轴为x=1，又f(x)为二次函数，可设f(x)=a(x-1)2+k(a≠0),又当x=0时，y=4,∴a+k=4,得f(x)=a(x-1)2-a

17、+4,令f(x)=0,得a(x-1)2=a-4.∴x=1±∴

18、AB

19、=2.6分∵

20、AB

21、=2,∴a=-2.即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4.8分方法二令二次函数y=f(x)的图像与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），（x2＞x1）,∵f（x+1）=f（1-x），

22、AB

23、=2.∴x1+x2=2，x2-x1=2，得x1=1-,x2=1+.3分设二次函数f(x)=a［x-(1-)］［x-(1+)］.又f(0)=4,则a=-2.即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4.8分(2)由条件知-2x2+4

24、x+4＜x+c在x∈R上恒成立.即2x2-3x-4+c＞0对x∈R恒成立.Δ=9+8（4-c）＜0，得c＞,12分∴