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1、第二编函数与基本初等函数Ⅰ§2.1函数及其表示要点梳理1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中数集任意基础知识自主学习都有的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)
2、x∈A}叫做函数的.显然，值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：、和.(
3、4)相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.唯一确定定义域值域定义域值域对应关系定义域对应关系2.函数的表示法表示函数的常用方法有：、、.3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,B必须是.解析法图象法列表法都有唯一函数非空数集基础自测1.设集合M
4、={x
5、0≤x≤2}，N={y
6、0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.C2.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f（x）=是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；④f（x）=与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析由函数的定义知①正确.∵满足f（x）=的x不存在，∴②不正确.又∵y=2x（x∈N
7、)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.A3.下列各组函数是同一函数的是()解析排除A；排除B；当即x≥1时,y=
8、x
9、+
10、x-1
11、=2x-1,排除C.故选D.答案D4.函数的定义域为.解析若使该函数有意义，则有∴x≥-1且x≠2,∴其定义域为{x
12、x≥-1且x≠2}.{x
13、x≥-1且x≠2}5.已知f（）=x2+5x,则f(x)=.解析题型一求函数的定义域【例1】（2009·江西理，2）函数的定义域为（）A.（-4，-1）B.（-4，1）C.（-1，1）
14、D.（-1，1］求函数f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解.解析思维启迪C题型分类深度剖析探究提高（1）求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次方根中，被开方数非负；③对于y=x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.（2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.知能迁移1(2008·湖北)函数的定义域为（）A.（-
15、∞，-4］∪［2，+∞）B.（-4，0）∪（0，1）C.［-4，0）∪（0，1］D.［-4，0）∪（0，1）解析答案D题型二求函数的解析式【例2】（1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，，可用解方程组法求
16、解.思维启迪解（1）∵f（x）为二次函数，∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.①②由已知得c=1.③由①、②、③式解得b=2,a=,c=1,∴f（x）=x2+2x+1.探究提高求函数解析式的常用方法有:(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,
17、代入f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.知能迁移2（1）已知f(+1)=lgx，求f（x）；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f（x）；(3)设f(x)是R上的函数，且f
