一类随机格点系统的随机吸引子

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1、第39卷第4期上海师范大学学报(自然科学版)Vo1．39．No．42010年8月JournalofShanghaiNormalUniversity(NaturalSciences)Aug．，2010一类随机格点系统的随机吸引子路学强，沈中伟，周盛凡(上海师范大学数理学院，上海200234)摘要：证明了由具有白噪音的Klein—Gordon—Schrtidinger方程的随机格点系统生成的随机动力系统存在随机吸引子，该随机吸引子吸引所有的缓增随机集．关键词：随机KGS格点系统；随机动力系统；随机吸引子中图分类号：O17

2、5．2文献标识码：A文章编号：1000-5137(2010)04-0331-081引言设d为正整数，定义，为dz={“=()：=(．，，：，⋯，)∈，∈，∑2<∞)，JE-d。={u=()a：．，=(，，⋯，Jd)∈，∈c，∑l“，l<∞)．设(，F，]P)是一个概率空间，其中={∞EC(R，Z×)：(0)=0}，上的Borelor一代数F由紧开拓扑生成，是F上的Wiener测度．上的变换族(0)定义为(·)=(·+t)一(t)，t∈．于是，(力，F，，(0))成为一个度量动力系统．考虑如下具有白噪音的Klein．G

3、ordon．Schr0dinger(KGS)格点系统：[dicj+adxj+(一(4)，一lz，l)dt=df+ajdw){，v∈，(1．1)【i+((一Az)++zjxj)dt=gjdt+∑bzj。dw其中=()，0=(at)z∈z，=()，z∈L，i是虚数单位，，，，卢是正常数，_厂=()ft．C(，z)，g=(g，∈C(，z)，b，n=1，⋯，N是实数，(，：)d,rtE⋯川是(力，F，)上相互独立的标准实值双边Wiener过程，线性算子定义为(au)J：(Au)(，1，止，．Jd)2duj—tt(jl+1,J

4、2，⋯)一／,(j1，J2+1，．Jd)一⋯一u(tl，J2，一+1)一u(jl一1,t2，⋯Jd)一(，1,J2—1，⋯，如)一M(lJ2，⋯,Jd-I)’其中=(u∈Jf2或￡．KGS方程是量子场论中刻划守恒复中子场与介子场具有Yukawa相互作用的数学模型，对它的研究有着十分重要的实际意义和理论意义．近来，对KGS方程的空问离散化所对应的格点系统的研究与收稿日期：2009—12—10基金项目：国家自然科学基金项目(10771139)；上海市教委创新科研项目(08ZZ70)．作者简介：路学强(1979一)，男，上

5、海师范大学数理学院研究生；沈中伟(1985一)，男，上海师范大学数理学院硕士研究生；周盛凡(1960一)，男，博士生导师，上海师范大学数理学院教授．332上海师范大学学报(自然科学版)2010正日俱增，见[5，6]及其内的参考文献．对于无随机扰动的确定性KGS格点系统，尹等在文献[6]中证明了KGS系统的全局吸引子的存在性及其Kolmogorov熵的上界估计，Zhao与Zhou在文献[5]中给出了非自治KGS系统的核截面的存在性及其Kolmogorov熵的估计．而对具有白噪音的KGS格点系统的解的长期渐近行为的研究不

6、多．在本文中，将证明当d≥1时，随机KGS格点系统存在随机吸引子，该吸引子吸引所有的缓增随机集．2随机动力系统记=Z或，定义线性算子B，，A：—(m：1，2，⋯，d)如下：(Bm“)J=u(j．．J+1．⋯Jd)一u(j．-lJ．．Jd)，(BmU)ju(j，—l，⋯舶)一tt(j．．，⋯，Jd)，(m)J：2u(Jl，⋯Jm，．．Jd)一(l，⋯√+1，⋯Jd)一u(j1，⋯Jm—l，⋯，坩)·易知，，A满足A=B=B，A=】+A2十⋯+Ad．对任意：()z，Y：(乃)z∈X，f(x，y)=∑x2yl，=(，){【

7、(z，y)，：∑(B，By)+y(，)，；=(，)是X中的内积和相应的范数，其中yf表示y，的共轭复数．易证1IxII≤IllI≤(4d+)Illl，∈X，=rain{1，y}．所以『I·『f与fI·等价．令E=z：×z×，对于‘“=(㈤，㈤，‘)=(()，()，(。))z∈E，i：1，2，定义f(‘¨，‘)E：(‘¨，‘)+(y‘¨，Y‘)+z‘¨，‘)【Illl=(，)∈E于是E成为一个Hilbert空间．设{e，。，是，的标准正交基，其中∈z。为第．7．个位置为1，其余位置都为0的向量．令()=∑()，n=()

8、∈z，从而系统(1．1)可写为rd互+0[+(一(ax)一{zl)dt=d￡+dW{，(2．1)Lidz+(一A++)dt=f+∑bnz。dw：其中=(Il)，=()，．考虑如下0一U方程(详细内容见文献[1])d叼+叼dt=dW。()，d，7：+n~adt=d：()，n=1，⋯，Ⅳ．它们的平稳解记为叼(∞)和唧(。∞)，n：1，⋯，Ⅳ，∈．记