一类随机算子方程的随机解new

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1、’’E"第!"卷第!#期$##"年!#月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!研究简讯!一类随机算子方程的随机解!朱传喜南昌大学数学系，南昌!!""#$摘要研究了一类随机算子方程的随机解，进一步推广了非线性泛函分析中重要的9:807定理，;78<=>0=4定理和?.8+,4定理2利用所推广的定理证明了一个随机非线性方程随机解的存在性，也给出了在随机非线性方程组方面的应用2关键词随机不动点指数随机算子方程随机非线性方程随机解随机不动点设!是一个可分的实

2、@,4,30空间，（!，"）是!主要结果一个可测空间，"是由!中开集所生成的!#代数，设（"，$，#）是一个完全的概率测度空间，其中$利用上述结论，可以证明如下定理：是"的子集所产生的集类，且#（"）A’%另外，设定理!设(："B’%&是随机半闭’#集压&是!中的一个凸闭集，’是&中的有界凸开集，缩算子，%$’，且满足下述条件（.’）%（.’）：$’是’在&中的边界，&#!，且%$’（这里及以)(（&，)）)*)’)D((（&，)）)，’（&，)）$后，%为零元）%"B$’，’(’，"*(*’，其中(为常数%则随机一个随机连续有界算子(："

3、B’%!称为!#算子方程(（&，)）A（，’（&，)）$"B’)’(’值随机半闭’#集压缩算子，是指：对几乎所有&$$’）在’中必有随机解%"，若(（&，·），是’上的半闭’#集压缩算子，证明可以假设(（&，)）A’)在$’上没有任何且对任意的)$’，(（&，·）："%!是!值随机随机解（否则，定理结论自然成立）%于是，(（&，)）&算子%本文有关概念参见文献［’C’"］%’)+·,，’（&，)）$"B$’，’(’，此即我们在文献［’］中曾证明了如下结论%’引理!设&是!中闭凸集，’是&中的有界)&(（&，)）+·,%（’）’凸开集，且%$

4、’%假设(："B’%&是随机半闭’#集压缩算子，同时使得下面证明：**)&(（&，)）+·,，’（&，)）$"-$’%)&(（&，)），’（&，)）$"-$’，（%）’’且*$（"，’）%’(’其中*$（"，’］，则随机算子方程(（&，)）A’(’%’（)’（&，)）$"B’，’(’）在’中必有随机解%假设（%）式不真，则存在一个*"$（"，’），%""!&’"&’!收稿，%""#&"!&’$收修改稿"国家自然科学基金（批准号：’(")’""!）和江西省自然科学基金（批准号：""’’"%%）资助项目*&+,-.：/012301,45-6%)

5、!2478第!"卷第!#期$##"年!#月##9##（#.%）%’"$!"-.%，!$（!，!），从而$$!"!!!"和!!!#"，使得!!"!!$对任何（!，!）!"*#"，其中$%#，-%!，%%（!!，!!）"$!!%将此式代入条件（&#）可得：!，使-’%6#%则随机算子方程$（!，!）"$!在#!"中必有随机解%证明可以假设$（!，!）"在#"上没有任何$，$!"!!"#"$!!’%$!!"#!#!随机解（否则，定理已获证明），从而，$（!，!）$$!，)·*，&（!，!）!"*#"和任何$%#，此即亦即#!$$（!，!）)·*%

6、（7）#%（$）$#!"$!!"#"(#’#!)$!!"%下面证明：因为!!!#"，必有!!$&，又$%#，从而也必有，即"于是由（$）式得!$#$（!，!），&（!，!）!"(#"，（8）$!!$&$!!"$!%$且#!（!，#）%#%$%###’#，#!!假设（8）式不真，则存在一个#!!（!，#），即##%#!&%%%这推出#!&%%#或#!&%#&#，#!，!）%于是，$!!!"和!!!#"，使!!"$（!!!亦即#!%#’%或#!#%&###&#"!%这明显矛盾$于#!!（!，#）%（!!，!!）"$#!!，把该式代入条件（&+）

7、式得!所以-.%-$!!’（#’%）$!!%$!!.%$!!·#"#!""#!"!$$（!，!），&（!，!）!"(#"，（(）$%$!.（#.%）$!’"$!-.%，（9）"#!!"!"!这里#!（!，#），由（#）与（(）式得$%#%其中-%!，%%!使-’%6#，!!!#"，$%#且#!$$（!，!）)·*，&（!，!）!"(#"，（)）#!!（!，#）%$由于!!!#"，$%#，可以推知"$!!"$!，其中$%#且#!（!，#］%根据（9）式推得现应用引理#推知：随机算子方程$（!，!）"#-.%#-#%$（!$%#，&（!，!）!

8、"*"）在"中必有随机解%(#.%’#)%(#.%)(#.%.#)’#%!!!证毕%（:）注!在定理#中，如取，%"!且$（!，$"#!）为确定型算子，则定理结论退化为文献［+］