椭圆简单几何性质.doc

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1、椭圆的简单几何性质高二数学备课组耿志新一、复习回顾上节知识点：、椭圆的定义；、椭圆的标准方程；、求椭圆方程的几种方法：待定系数法、定义法、相关点法。二、讲授新课：、观察思考：观察椭圆（），想一想我们应该从哪些方面关注椭圆的哪些方面的几何性质，研究哪些问题。我们从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点、扁平程度等等。、教师引导，学生合作研究师：解析几何要解决的两类问题是：（）由已知条件，求出表示曲线的方程；（）通过曲线的方程，研究曲线的性质。第一个问题我们已经解决，下面我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质。从数的角度（也就是方程）来验

2、证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。（一）范围：引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量的取值范围。用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。学生：由利用两个实数的平方和为，结合不等式知识得且，则有。那么它的范围就是直线所围成的区域。老师：很好，谁还有不同意见？学生：利用三角换元，令。由正弦函数有界可得范围。老师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学生：从中解出，利用可得的取值范围，同样可得的取值范围。师：这种想法也很好，谁还有不同方法？此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的

3、范围有何启示呢？学生纷纷议论，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。老师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。学生：（在黑板上展示）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。老师：是函数吗？学生：（思考后说）不是。老师：怎样处理呢？学生：把和分别看作是一个函数。老师：正确。往下怎样研究呢？学生：先求函数的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得，同样得中，于是得到范围。老师：好。前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生的推导过程呢？学生：老师，我想只需求的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。老师：很好。通

4、过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即，它围在一个矩形框内。（二、）对称性老师：前面我们已经观察到椭圆有对称性。我们先来回顾一下对称的概念和关于轴、轴、原点都对称的点的坐标的关系。学生：若一条曲线沿一条直线对折起来重合，那么我们说这条曲线关于这条直线成轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。若一条曲线沿一个点旋转和原来的曲线重合，那么我们说它关于这个点成中心对称图形，这个点是它的对称中心。老师：那么关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢？学生：设（，），则点关于轴、轴和坐标原点的对称点分别是（，）、（，）、（，）若曲线关于轴对称，则点关于轴对称点也在

5、曲线上，即（，）满足方程。同理可以推出另外两种情况。老师：那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件才具有这些对称性。学生：结论：以代，方程不变，则曲线关于轴对称；以代，方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代、以代，方程不变，则曲线关于原点对称。老师：非常正确。那么椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？此时学生能快速判断，得出结论。同时让学生明白，图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论。（三）顶点老师：我们现在已经知道了椭圆的范围，它在一个矩形围成的区域内，那么怎样才能比较准确地画出椭圆呢？它是否存在一些

6、关键点呢？学生沉默。老师提示，类比正余弦曲线中的五点法做图中有五个关键点，那椭圆上是否也有呢？此时学生纷纷指出有，有些学生说是椭圆最边上的点，有些学生说是与坐标轴的交点，那么到底是该怎样描述呢？此时我又黑板上画出焦点不在坐标轴上的椭圆，提问，此时还不能说是与坐标轴的交点呢？此时学生大呼上当，才知道准确定义应该是椭圆与对称轴的交点。这样我才正式给出义，这样的关键点叫做椭圆的顶点。我们把椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点。老师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与轴的交点分别是、，与轴的交点分别是、学生：分别令，，得（，）、（，）、（，）、（，

7、）。老师：得出顶点的概念之后，再来看我们能否找出椭圆中那条最长的弦。学生马上指出为、，那我们给它取一个什么名字呢？学生：长轴。老师：那么椭圆中有没有最短的弦呢？学生马上指出是、，我马上反问，那么这是不是椭圆中最短的弦呢？学生才发现上当。我又马上提出，那该怎样描述、呢？学生这才找出应该是过中心的弦中最短的那条弦叫短轴。长轴与短轴两个概念明确之后，老师再进一步结合图形指出长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中、的几何意义。（四）离心率展示几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。老师：在刚才的演示中，

8、我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个