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时间:2020-04-02
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1、椭圆的简单几何性质高二数学备课组耿志新一、复习回顾上节知识点:、椭圆的定义;、椭圆的标准方程;、求椭圆方程的几种方法:待定系数法、定义法、相关点法。二、讲授新课:、观察思考:观察椭圆(),想一想我们应该从哪些方面关注椭圆的哪些方面的几何性质,研究哪些问题。我们从整体上把握几何图形,这就是范围、对称性;其次是研究它的顶点、扁平程度等等。、教师引导,学生合作研究师:解析几何要解决的两类问题是:()由已知条件,求出表示曲线的方程;()通过曲线的方程,研究曲线的性质。第一个问题我们已经解决,下面我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质。从数的角度(也就是方程)来验
2、证我们刚才从直观(也就是形)得来的结论。(一)范围:引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围,就是确定方程中两个变量的取值范围。用多种方法探究,汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。学生:由利用两个实数的平方和为,结合不等式知识得且,则有。那么它的范围就是直线所围成的区域。老师:很好,谁还有不同意见?学生:利用三角换元,令。由正弦函数有界可得范围。老师:这个想法也不错,谁还有不同见解?学生:从中解出,利用可得的取值范围,同样可得的取值范围。师:这种想法也很好,谁还有不同方法?此时学生陷入深思中,教师及时点拨,前面我们学习过函数的定义域、值域,这对你研究椭圆的
3、范围有何启示呢?学生纷纷议论,有的开始动笔推导,有的几个人一起在商量。老师:谁研究出来了,或哪个小组研究出来了?请到前面给大家讲一讲。学生:(在黑板上展示)由则,可通过求这个函数的定义域、值域得范围。老师:是函数吗?学生:(思考后说)不是。老师:怎样处理呢?学生:把和分别看作是一个函数。老师:正确。往下怎样研究呢?学生:先求函数的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法,可得,同样得中,于是得到范围。老师:好。前面我们研究了椭圆的对称性,谁能简化学生的推导过程呢?学生:老师,我想只需求的定义域、值域即可,然后利用对称性可得范围。老师:很好。通
4、过前面的探讨,我们知道椭圆是有范围的,即,它围在一个矩形框内。(二、)对称性老师:前面我们已经观察到椭圆有对称性。我们先来回顾一下对称的概念和关于轴、轴、原点都对称的点的坐标的关系。学生:若一条曲线沿一条直线对折起来重合,那么我们说这条曲线关于这条直线成轴对称图形,这条直线称为它的对称轴。若一条曲线沿一个点旋转和原来的曲线重合,那么我们说它关于这个点成中心对称图形,这个点是它的对称中心。老师:那么关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢?学生:设(,),则点关于轴、轴和坐标原点的对称点分别是(,)、(,)、(,)若曲线关于轴对称,则点关于轴对称点也在
5、曲线上,即(,)满足方程。同理可以推出另外两种情况。老师:那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件才具有这些对称性。学生:结论:以代,方程不变,则曲线关于轴对称;以代,方程不变,则曲线关于轴对称;同时以代、以代,方程不变,则曲线关于原点对称。老师:非常正确。那么椭圆是否也具有这种对称性,你能根据方程得到结论吗?此时学生能快速判断,得出结论。同时让学生明白,图形对称性的本质是构成图形的点的对称性,从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论。(三)顶点老师:我们现在已经知道了椭圆的范围,它在一个矩形围成的区域内,那么怎样才能比较准确地画出椭圆呢?它是否存在一些
6、关键点呢?学生沉默。老师提示,类比正余弦曲线中的五点法做图中有五个关键点,那椭圆上是否也有呢?此时学生纷纷指出有,有些学生说是椭圆最边上的点,有些学生说是与坐标轴的交点,那么到底是该怎样描述呢?此时我又黑板上画出焦点不在坐标轴上的椭圆,提问,此时还不能说是与坐标轴的交点呢?此时学生大呼上当,才知道准确定义应该是椭圆与对称轴的交点。这样我才正式给出义,这样的关键点叫做椭圆的顶点。我们把椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点。老师:你能根据方程求得四个交点的坐标吗?(计算机给出图形,椭圆与轴的交点分别是、,与轴的交点分别是、学生:分别令,,得(,)、(,)、(,)、(,
7、)。老师:得出顶点的概念之后,再来看我们能否找出椭圆中那条最长的弦。学生马上指出为、,那我们给它取一个什么名字呢?学生:长轴。老师:那么椭圆中有没有最短的弦呢?学生马上指出是、,我马上反问,那么这是不是椭圆中最短的弦呢?学生才发现上当。我又马上提出,那该怎样描述、呢?学生这才找出应该是过中心的弦中最短的那条弦叫短轴。长轴与短轴两个概念明确之后,老师再进一步结合图形指出长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长,点明方程中、的几何意义。(四)离心率展示几何画板,取椭圆的长轴长不变,拖动两焦点改变它们之间的距离,再画椭圆,由学生观察出椭圆形状的变化。老师:在刚才的演示中,
8、我们发现在椭圆长轴长不变的前提下,两个
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