椭圆及其简单几何性质.doc

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1、椭圆及其标准方程1。平面内,叫做椭圆。叫做椭圆的焦点,叫做椭圆的焦距。2。根据椭圆的定义可知:集合,,且为常数。当时,集合P为椭圆;当时,集合P为线段;当时,集合P为空集。3。焦点在x轴上的椭圆的标准方程为          。   焦点在y轴上的椭圆的标准方程为          。   其中满足关系为      。练习1判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明a2、b2,写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程,并判定焦点在哪个轴上,写出焦点坐标练习3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴,焦点在轴上;⑵,焦点在轴上;⑶例1已知椭圆两个焦点的坐标分

2、别是,并且经过点,求它的标准方程.例2在圆x2+y2=4上任取一点P,向x轴作垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形?相关点法:寻求点的坐标与中间的关系,然后消去,得到点的轨迹方程.例3设点的坐标分别为,.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程..知识小结:1、椭圆的定义(强调2a>

3、F1F2

4、)和椭圆的标准方程2、椭圆的标准方程有两种,注意区分3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴焦点在轴上,焦距等于,并且经过点;⑵焦点坐标分

5、别为,;⑶.椭圆的简单几何性质1.范围方程中x、y的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式≤1,≤1即x2≤a2,y2≤b2所以

6、x

7、≤a,

8、y

9、≤b即-a≤x≤a,-b≤y≤b这说明椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里。2.对称性复习关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标之间的关系:点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y);(1)如果以-y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,它关于x

10、的轴对称点P’(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称。(2)如果以-x代x方程方程不变,曲线关于y轴对称。(3)如果同时以-x代x、以-y代y,方程不变,曲线关于原点对称。椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称的。这时,椭圆的对称轴是什么?[坐标轴]椭圆的对称中心是什么?[原点]椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点在椭圆的标准方程里,令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。令y=0,得x=±a。这说明了A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴,y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆

11、和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长

12、A1A2

13、=2a,

14、B1B2

15、=2b(a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)4.离心率定义:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫做椭圆的离心率。因为a>c>0,所以0

16、2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,,填空:已知椭圆的方程是9x2+25y2=225,(1)将其化为标准方程是_________________.(2)a=___,b=___,c=___.(3)椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e=_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______.例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(

17、0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6例3点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,求点的轨迹.三、课堂练习:①比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?⑴与⑵与②求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点⑵长轴长是短轴长的倍,且经过点⑶焦距是,离心率等于焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.课后思考:1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方?2、点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a>c>0),求点M轨迹,并判断曲线的形状。3、若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于

18、M、N两点,当△F1MN的面积为70时,求该椭圆的方程。椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断(二)题组训练:题组一:1.在椭圆中,a=,b=

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