椭圆 的简单几何性质.doc

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1、2.2.3直线与椭圆的位置关系教材分析《直线与椭圆的位置关系》是解析几何中的重要内容之一，又是代数和几何衔接的枢纽，在直线椭圆的位置关系中渗透了数形结合的思想.在新课程数学教学中起着不可代替的作用.本节要求学生通过数形结合能够判断直线和椭圆的位置的关系，引导学生联系直线与圆的位置关系，采用代数的方法研究直线与椭圆的位置关系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解直线与椭圆的三种位置关系.教学目标重点:利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系.难点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系.知识点：理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的

2、判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系.能力点：进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.教育点：通过研究直线与椭圆的位置关系，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何由直线与圆的位置关系联系到直线与椭圆的位置关系.考试点：掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧.易错易混点：两种类型的弦长公式的引用及“点差法”学生容易出错.拓展点：如何由直线与椭圆的位置关系联系到直线与其他圆锥曲线的位置关系.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课在初中已经研究过直线与圆的各

3、种位置关系，通常用圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的各种不同的位置关系.另外在《必修2》时我们也学会了用代数的方法去研究直线与圆的位置关系，通过联立直线与圆的方程，转化为一个关于(有时也可以转化为关于)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，可以由一元二次方程根的情况去研究直线与圆的交点情况，进而得到直线与圆的位置关系.（如下图所示）【师生活动】教师提问：直线与椭圆的这三种位置关系也能够分别应用几何法和代数法去研究吗？为什么？学生分析：不能应用几何法研究，因为椭圆没有像圆一样统一的半径，只能采用代数的方法去研究.教师引导：代数的方

4、法是研究直线与二次曲线有关问题的通法.【设计意图】通过多媒体课件给学生展示出直线与圆的三种位置关系，以及研究这三种位置关系的几何法和代数法，让学生从回顾所熟悉的问题入手，进而得出研究直线与椭圆的位置关系方法---代数法.消除新内容学习上的恐惧心理.二、探究新知（一）位置问题（1）联立直线与椭圆的方程；（2）将直线方程代入到椭圆方程，消去或得一元二次方程；（3）由一元二次方程的根的情况得出直线与椭圆的位置关系.时，相离；时相切；时，相交.例1、判断直线与椭圆的位置关系.解：由可得（1）当时，直线与椭圆相交；（2）当时，直线与椭圆相切；（3）当时，直线与椭圆相离.【

5、设计意图】通过本例让学生初步体会代数法来判断直线与椭圆的位置关系的解题思路，为接下来分别去研究相离、相切和相交作必要的准备.（二）最值问题例2、已知椭圆,直线,椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?【分析】：作出直线及椭圆（如图）.观察图形，可以发现，利用平行于直线且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解:由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交（为什么？）.设直线平行于直线，则直线的方程可写成：.由方程组消得：当时,得:得:当时,直线与椭圆的交点到直线的距离最小,此时直线的方程为，最小距离为：.【变式训练】已知椭圆，在

6、椭圆上求一点，使到直线的距离最小，并求出最小值.【设计意图】本例主要是研究直线与椭圆相离时的最值问题，例题和变式训练都可以再问距离最大时的点及最大距离，相离的位置关系还是转化为相切来解决的，另外就是通过此例让学生复习了两条平行线之间的距离公式.（三）弦长问题直线与椭圆相交弦长的求法：（1）联立方程组；（2）消去一个未知数，得一元二次方程；（3）利用弦长公式:（或者）求出弦长.例3、已知椭圆的左右焦点分别为，若过点P（0，-2）及的直线交椭圆于A,B两点，求

7、AB

8、.解:由题意可得，所以线段所在直线方程为：，由方程组消去可得：，则有：，又【设计意图】通过本例让学生

9、掌握直线与椭圆相交弦的弦长公式，利用韦达定理求出弦长.（四）中点问题例4、已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆,，若椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程.解法一：设椭圆方程为，由题意可得：，由可得，又即椭圆方程为解法二：（点差法）令椭圆方程为，由题得：，由作差得，又即椭圆方程为.【变式训练】1、椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是____________.2、如果椭圆的弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.【设计意图】通过本例及变式训练让学生掌握当直线与椭圆相交时，利用“点差法”可以求出相应的直线的斜率，进而得到直线的方程.三、理解新知以上几类问

10、题基本上是按照直线与椭圆