2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数学归纳法随堂检测 理 北师大版.doc

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1、2011《金版新学案》高三数学一轮复习数学归纳法随堂检测理北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．0【解析】　因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3【答案】　C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N＋)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N＋)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N＋)D．假使n≤

2、k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)【解析】　因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1正确．【答案】　B3．设f(n)＝＋＋…＋，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　)A.B.C.＋D.－【解析】　f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋－－－…－＝＋－＝－.【答案】　D4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3【解析】　计算出a1＝

3、1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2.故应选B.【答案】　B5．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是(　　)A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)【解析】　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．4用心爱心专心【答案】　D6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成

4、立，则a、b、c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c【解析】　∵等式对一切n∈N＋均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.【答案】　A二、填空题(每小题6分，共18分)7．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为______________．【答案】　1－4＋9－…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)8．下面三个判断中，正确的是(　　)①f(n)＝1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时，f(n)＝1；②f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N

5、＋)，当n＝1时，f(n)＝1＋＋；③f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋.【解析】　①中n＝1时，f(n)＝f(1)＝1＋k不一定等于1，故①不正确；②中n＝1时，f(1)＝1＋＋，故②正确；③中f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，故③不正确．【答案】　②9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．【解析】　f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个

6、数等于原来直线的条数．∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n－2)．4用心爱心专心∴f(n)＝(n＋1)(n－2)．【答案】　5　(n＋1)(n－2)三、解答题(共46分)10．(15分)对于n∈N＋，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．【证明】　设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(

7、2)设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)．由(1)(2)可知当n∈N＋时等式都成立．11．(15分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋