由柯西收敛原理证确界存在定理.doc

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1、有限覆盖定理紧致性定理证明：设数列满足。先证[]，在的任一邻域(,)中必含有的无限项。如果不然。[]，，使(,)只含的有限项。记E={(,)

2、[]，由上产生}，是[]的一个覆盖。由有限覆盖定理，知E中有限个开区间（,）(,)……(,)覆盖。则一方面：由覆盖的定义，中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{,}（均只含的有限项，故这有限个开区间只包含中的有限项，这将互相矛盾。故[]，在的任一邻域(,)中必含有的无限项。特别地，取，则，取，则，……取，则……则为的子数列,满足0<故收敛于。定理证完柯西收敛定理确界存在定理以非空有上界数集

3、必有上确界为例来证明证明：设数集A非空有上界，设是A的上界因为A非空，设，则存在<，就不是A的上界。，用，的中点二等分[，]，如果是A的上界，则取[，]=[，]；如果不是A的上界，则取[，]=[，]；用，的中点二等分[，]……如此继续下去，得一闭区间列{}，对，，（）=0数列{}，{}满足，不是A的上界，是A的上界。下证{}，{}是收敛数列。（）=0，即，，当，有

4、

5、。又对，，故

6、

7、（），故{}是收敛的，设=r。又因（）=0，故=r最后证r=supA。因为是A的上界，故对，由极限的保序性，即是A的上界，设任一，我们来说明不是A的上界由=r，

8、则，当，有。而对，不是A的上界，故就不能是A的上界故r=supA。定理证完。