2011年北京数学二模分类汇编之函数导数.doc

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1、北京市各区11年二模文导数试题集锦18.(本小题满分14分)（昌平区11年二模文）设函数（Ⅰ）若函数在处取得极小值是，求的值;（Ⅱ）求函数的单调递增区间;（Ⅲ）若函数在上有且只有一个极值点,求实数的取值范围.解：（I）.......3分得......4分解得：………5分（II）令…..7分当，即的单调递增区间为….8分当，即的单调递增区间为….9分当，即的单调递增区间为…..10分（Ⅲ）由题意可得：……12分的取值范围……14分(18)（本小题共13分）（东城区11年二模文）已知函数()．（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；（Ⅱ）求在上的最小值．证明（Ⅰ）：当时，，当时，，所

2、以在上是增函数．……………………5分（Ⅱ）解：，当时，，在上单调递增，最小值为．当，当时，单调递减；当时，单调递增．若，即时，在上单调递增，又，所以在上的最小值为．若，即时，在上单调递减；在上单调递增．又，所以在上的最小值为．综上，当时，在上的最小值为；当时，在上的最大值为．………13分18.（本小题共14分）(丰台区11年二模文)已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．解：（Ⅰ）函数的定义域为∪，………………1分．………………3分∵时函数取得极小值，∴．………………4分∴．………………5分当时，在内，在内，………………6分∴是函数的极小值

3、点．∴有意义．………………7分（Ⅱ）的定义域为∪，．令，得．………………9分（ⅰ）当时，0极小值………………11分（ⅱ）当时，0极小值综上所述：………………13分当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．………………14分18.（本小题共14分）(海淀区11年二模文）已知函数（I）若，求函数的解析式；（II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）因为，…………………2分由即得，…………………4分所以的解析式为.…………………5分(Ⅱ)若，则，，…………………6分（1）当，即时，恒成立，那么在上单调递增，所以

4、，当时，在区间上单调递增；…………………8分（2）解法1：当，即或时，令解得，…9分列表分析函数的单调性如下：…………………10分要使函数在区间上单调递增，只需或，解得或.…………………13分解法2：当，即或时，因为的对称轴方程为…………………9分要使函数在区间上单调递增，需或解得或.…………………13分综上：当时，函数在区间上单调递增.…………………14分18.（本小题满分14分）（西城区11年二模文）设函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.解：（Ⅰ）由已知，所以，……………2

5、分由，得，……………3分所以，在区间上，，函数在区间上单调递减；……………4分在区间上，，函数在区间上单调递增；……………5分即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.……………7分切线与轴的交点为，与轴的交点为，……………9分因为，所以，……………10分，……………12分在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.…………13分所以，当时，有最大值，此时，所以，的最大值为.……………14分18.（本小题满分13分）（顺义区11年二模文）设函数，其图像过点（0,1）.（1）当方程的两个根分别为是，1时,求f(x)的解析式；（2）当时

6、，求函数f(x)的极大值与极小值.解：由题意可知，f(0)=1所以c=1………………………………….……………………….1分(Ⅰ)由得.因为，即的两个根分别为所以解得故………………………………….……………………….6分（Ⅱ）所以，………………………………….……………………….7分①若b>0，则当时，函数f(x)单调递增当时，函数f(x)单调递减当时，函数f(x)单调递增因此，f(x)的极大值为f（0）=c=1,f(x)的极小值为……………………………….……………………….10分②若b<0，则当时，函数f(x)单调递增当时，函数f(x)单调递减当时，函数f(x)单调

7、递增因此，f(x)的极大值为f(x)的极小值为f（0）=1.综上所述，当b>0时,f(x)的极大值为1,极小值为,当b<0时,f(x)的极大值为,极小值为1.……………….……………………….13分20.（本小题满分13分）若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.①；②.（Ⅱ）若函数具有性质，且（），求证：对任意有；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.证明（Ⅰ）：①函数具有性质.……………1分，因为，，……………3分即，此函数为具有性质.②函数不具有性质