王振发版-分析力学-课件-第4章-力学的变分原理.ppt

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1、第四章力学的变分原理1.变分法简介2.哈密顿原理3.力学原理.方程之间的联系（了解）4.哈密顿原理应用举例5.高斯最小拘束原理（了解）6.拉格朗日最小作用量原理（了解）力学原理：不需经过证明，在实践中靠归纳得出的力学的最基本最普遍的规律。力学原理分为两大类：不变分原理和变分原理；每一类可分为两种形式：微分形式、积分形式。不变分原理：反映力学系统真实运动的普遍规律，如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理；如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积

2、分原理，如机械能守恒原理即不变分的积分原理。变分原理：提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动。如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理。虚位移原理就是微分变分原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则，动力学普遍方程和本章的高斯最小拘束原理都是微分变分原理。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理，本章的哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理即积分原理。力

3、学的变分原理是变分法在力学中的应用。1.变分法简介1.泛函的概念（1）函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对D中的每个数x，变量y按确定关系总有一个确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x称做自变量，y称做因变量。对于多元函数，记做y=f(x1，x2，…，xn）（2）泛函的概念给定一个由任何对象组成的集合D，这里所说的任何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或某系统的状态等。设集合D中的元素用x表示，如果对于集合中的每一个元素x对应一个数y，则称y是x的泛函，记

4、为y=F(x).有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。譬如，如果集合D中的元素是数x，则泛函y=F(x)可视为函数y=f(x)；如果集合D中的元素是数组（x1,x2,…xn），则泛函y=F(x)可视为函数y=f(x1,x2…xn)。函数和泛函毕竟是两个不同的概念：函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数一一对应的关系，函数概念可作为泛函概念的特殊情况。2.变分法简介（1）变分法的研究对象一个可微函数y=f(x)在某点x具有极值的条件是它的导数等于零，即或说函数的微分等于零，。实践中还

5、常常遇到需要求出泛函的极大值和极小值的问题，变分法就是研究求泛函的极值的方法。凡有关求泛函的极值问题都称做变分问题。例如：著名的最速降线问题就是一个变分问题。在图所示的铅垂平面内，质点M在重力作用下，不计摩擦，无初速地自点A降落到点B，所沿曲线可有无数条，显然A，B两点的直线距离最短，但所用时间并不是最少的，那么，沿哪条曲线所用时间最少呢？由图知，点A，B的坐标分别为（0，0），（），过A，B两点的曲线可用函数表示为（0≤x≤xb）由机械能守恒定律，质点M的速度为在dt时间间隔内，质点M走过的弧长为则质点

6、M从点A降落到点B所用时间为上式时间t是用定积分（函数的集合）来表示的，这种关系即泛函，其数值取决于式中未知函数y=f(x)和。另外：在某一曲面上指定的两点之间，求出长度最短曲线问题（短程线问题）；求长度一定的封闭线所围面积为最大的问题（等周问题）等，都是变分问题。显然求此泛函的极小值就是求所用的最小时间t,，也就是求出函数中的哪一个函数表示的曲线是最速降线。（2）变分的概念变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。我们只研究等时变分。设集合D中的元素是表示某一力学系统运动的函数，其中t为自变量，

7、q为力学系统的广义坐标，此函数见下图。当自变量t有微小增量dt时，对应的函数q的微小增量的线性主部dq称为函数的微分，记为由于是在瞬时t，不考虑时间t的变化，这种变分称为等时变分。图给出了函数的变分与微分的区别。如果自变量t保持不变，而函数本身形式发生微小变化，则得另一条曲线，如图中虚线所示，显然这种曲线有无数条，令式中为一参数，为无穷小量。上式表示的是一族依赖于参数的函数，相应的是一族非常接近的曲线。式中是可微的时间函数。在瞬时，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主部称为函数的变分，记为等时变分的

8、两个运算规则变分与对时间求导数的运算次序可以相互交换，即变分与对时间的积分的运算次序也可以相互交换：变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分的变分.（3）变分法设泛函J为定积分现欲求通过两固定点和的一条曲线，如图实线所示，这条曲线使泛函J具有极值。为表示通过A，B两固定点的与非常接近的一族函数，我们将这族函数表示为依赖于参数的函数；当时，，就是欲求的函数。因可为不同的值，因此泛函J也是的函数，即泛函的极值问题就转变为函数的