第9章---弹性力学变分原理ppt课件.ppt

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1、弹性力学讲义第9章弹性力学的变分原理——Chenping2008.11.18第9章弹性力学的变分原理本章主要内容——本章主要讨论弹性体的应变能,位移变分方程(Lagrange变分方程),位移变分法,应力变分方程(Castigliano变分方程),应力变分法。由位移变分方程引出极小势能原理,虚功方程,伽辽金变分方程,瑞次法。由应力变分法引出极小余能原理。第9章变分原理变分法变分问题,在数学上是求泛函的极值问题。是寻求满足边界条件的一系列偏微分方程组的一种近似解法。在弹性力学中,泛函就是能量，变分法则是通过对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理,从而导出相应的变分方程,

2、并利用这些变分方程求得弹性力学问题的近似解。§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理一、函数与泛函函数的函数函数xy面内两点距离(9-1)(9-2)§9-1变分法的预备知识一、函数与泛函曲面的表面积S变分原理应变能密度——弹性体单位体积的应变能(9-2a)若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度泛函的一般形式§9-1变分法的预备知识一、函数与泛函变分原理应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位置x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理二、函数的变分函数的微分函数的变分(9-4)是增量的一阶小量！§9-1变分法

3、的预备知识弹性力学的变分原理导数的变分通常函数要满足一定的边界条件,函数的变分应满足齐次边界条件二、函数的变分导数的变分等于变分的导数§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理三、泛函的变分按照泰劳级数展开法则函数变分§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理三、泛函的变分(9-5)被积函数变分泛函的变分(9-7)也是增量的一阶小量！服从无穷小量的运算法则！§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理四、泛函的极值问题=变分问题泛函取极值必要的极值条件取极值的曲线称为泛函的极值曲线。判别极大值或极小值(9-8)§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理五、欧拉方程与自

4、然边界条件曲线被指定通过A,B两点，也就是y(x)具有边界条件典型的变分问题由泛函的极值条件求出函数y(x)满足的方程§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理五、欧拉方程与自然边界条件(9-10)欧拉方程§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理五、欧拉方程与自然边界条件求AB曲线最短时的函数§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理应变能的概念1.单向拉伸杆外力做功弹性体应变能单位体积应变能—应变能密度静加载是线性的，没有动能与热能的变化§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理应变能的概念2.受均匀剪应力时应变能密度3.受复杂应力状态最终弹性应变能与变形过程无

5、关，只取决于变形的最终状态——可采用等比例加载得到§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理热力学定律——导出应变能的表达式物体在外荷载作用下的功能转换：可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的动能和物体因变形引起的应变能(内能)。不可逆过程——外荷载对物体所做的功,一部分转化为物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。弹性力学研究——可逆过程！§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理热力学定律——导出应变能的表达式弹性体在外荷载作用下的变形过程等温过程（加载极其缓慢——弹性静力学）绝热过程（加载过程很快）弹性体变形过程近似等温过程！(9-11

6、)根据热力学第一定律，外载荷所做功的增量等于弹性体的应变能增量物体在某一应变状态获得的应变能增量为微元(9-12)§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理热力学定律——导出应变能的表达式§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理利用高斯公式(9-12a)热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理应力张量σ的对称性§9-2应变能与余应变能应变能密度增量(11-13)(11-14)代(11-12a)热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理§9-2应变能与余应变能弹性应变能与变形过程无关，只取决于变形的最终状态，是状态函数，其增量为全微分——（能量守恒

7、定律解释）Green公式,适用一般材料，不局限线弹性材料(能量形式的物理方程)增量为全微分(9-15)(9-16)与(11-14)比较热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理§9-2应变能与余应变能弹性体从初始应力和应变为零的状态0，到受荷载作用发生变形后的状态1的应变能为积分与路径无关，假设按等比例加载应变能密度为对线弹性力学热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理(9-17)应变能密度为弹性力学的变分原理§9-2应变能与余应变能§9-2应变能与余应变能各向同性材料弹性体V的应变能(9-17)(9-18)(9-19)热力学定律——导出应