弹性力学变分原理及直接解法

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1、第十章弹性力学变分原理及直接解法弹性力学变分原理是弹性理论的重要组成部分。它的要点是通过古典变分学用功和能的观点表述弹性力学基本理论，并经许多学者加以丰富和发展成为弹性力学近似解法和当代数值计算方法的理论基础的组成部分。§10.1最小势能原理1)虚功原理理论力学中的虚功原理是说，对某个质点，作用一平衡力系，在虚位移作用下，其虚功ν为零。这个原理如何推广到可变形体？例如一弹性体在体力F和面力T作用下平衡，并且相应位移边界条件也已知的情况下，这时体内微小单元体满足平衡方程σ+F=0在V中ij,jiνT=σν在应力边界S

2、上iijjσu=u在位移边界S上iiu如把弹性体视为质点系，在其平衡位置有许可的虚位移δu时，即在S上满足的δu=0的iui约束条件，根据质点系的虚功原理可以有：ν()∫∫Ti−σijνjδuidS+∫∫∫σij,j+Fiδuidv=0(10.1.1)SVσ由于σδudv=(σδu)dv−σδ(u)dv∫∫∫ij,ji∫∫∫iji,j∫∫∫iji,jVVV=σνδudS−σδedv∫∫ijji∫∫∫ijijS:Sσ+SuV代回原方程得νTδudS+Fδudv−σδedv=0(10.1.2)∫∫ii∫∫∫

3、ii∫∫∫ijijSσVV第一项是表面力虚功，第二项是体力虚功，这两项之和称为外力虚功。第三项连同负号称为内力虚功，而且内力虚功总是负的。令外力虚功表成νδW=TδudS+Fδudv∫∫ii∫∫∫iiSσV内力虚功表成第十章弹性力学变分原理及直接解法−δU=−σδedv∫∫∫ijijV整个弹性体的虚功用δA来表示，外力虚功δW与内力虚功−δU之和为零，这就是弹性变形体的虚功原理，即δA=δW−δU=0(10.1.3)2)总势能及最小势能原理弹性体的总势能（后称为势能）的改变由两部分组成，即弹性体内力的势能改变和作用

4、于弹性体上外力势能的改变。内力的势能的改变即是我们在第四章讨论的应变能改变δU=σδedv，∫∫∫ijijV它与内力功差一个负号。外力的势能的改变可以理解成，假设外力在变形过程中保持其大小和方向不变，于是外力功只和弹性体变形体前后两个状态有关，而与变形过程无关，这样可以把外力做功看成一个保守的有势力场势能的改变，即ν−δW=−TδudS−Fδudv。∫∫ii∫∫∫iiSσV把上一节的虚功原理解释成势能原理，如总势能改变记做作δΠ，即有δΠ=δU−δW=0(10.1.4)我们将在下节进一步说明此式的物理意义。总势能Π

5、是u的泛函，(10.1.4)式表示了Π的i一阶变分等于零，此时得到的u使Π取驻值，至于取极大还是取极小要看二阶变分。i*下面，我们来证明势能为最小。设可能位移ui，*ui=ui+δui(10.1.5)式中u为真实位移，δu为虚位移。相应有可能应变ii*e=e+δe(10.1.6)ijijij由§4.2知弹性体的应变能为U=Udv∫∫∫0V故δU=δUdv=δUdv=σδedv。∫∫∫0∫∫∫0∫∫∫ijijVVV对各向同性体，由§4.2中(4.2.5)式有12[]222(222)U=λe+µe+e+e+2e+e+e

6、0xyzxyyzzx2122第十章弹性力学变分原理及直接解法δU0=λeδe+2µ[exδex+eyδey=ezδez]+4µ[exyδexy+eyzδeyz+ezxδezx]将可能应变(10.1.6)式代入U表达式有0*()U=U0+δU0+U0δeij(10.1.7)0由可能位移引起的总势能应为ν****Π=Udv−Fudv−TudS∫∫∫0∫∫∫ii∫∫iiVVSσ将(10.1.5)、(10.1.4)和(10.1.7)式代入得*()Π=Π+δΠ+Uδeijdv∫∫∫0V由应变能的正定性知∫∫∫U0(δeij)

7、dv>0V故当δΠ=0势能取驻值时，实际上为最小值，所以(10.1.4)式表述了最小势能原理。3)由最小势能原理推导平衡方程由前一节知弹性体总势能由弹性体的应变能和作用其上的外力势能组成，可写成Π=U−W(10.1.8)式中U=Udv(10.1.9)∫∫∫0VνW=TudS+Fudv(10.1.10)∫∫ii∫∫∫iiSVσ故(10.1.8)又可写成νΠ=()U−Fudv−TudS(10.1.11)∫∫∫0ii∫∫iiVSσ这时Π是u的泛函。由最小总势能原理(10.1.4)式，需将Π对u进行一阶变分得iiνδΠ=σ

8、δedv−TδudS−Fδudv=0(10.1.12)∫∫∫ijij∫∫ii∫∫∫iiVSσV第一项利用Cauchy几何公式得σδedv=σδudv=(σδu)dv−σδudv∫∫∫ijij∫∫∫iji,j∫∫∫iji,j∫∫∫ij,jiVVVV利用Gauss公式，右端第一项变成面积分得σνδudS∫∫ijjiS：Sσ+Su代回(10.1.12)式，得123