弹性力学的变分原理课件.pptx

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1、变分原理---fromWikipedia&百度百科把一个物理问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。物理学的一条基本原理：力学中的虚功原理、最小势能原理、最小余能原理、哈密顿原理等，电磁理论，几何光学中的费马原理，量子力学等；变分法：变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。弹性力学的变分原理为什么要在弹性力学中引入变分原理弹性力学变分原理是弹性理论的重要组成部分,通过古典变分学用功和能的观点表述弹

2、性力学基本理论，并发展成为弹性力学近似解法和当代数值计算方法理论基础的组成部分。变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。动机-Motivation问题的引入弹性力学问题的两种基本解法1、建立偏微分方程边值问题（直接法）精确，但往往求解困难，有解答的问题有限问题的引入弹性力学问题的两种基本解法2、建立变分方程：泛函极值问题，近似解法优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是数值方法的理论基础。两种方法具有等价性,且力学问题中的泛

3、函多为能量,是标量,应用方便。门与窗户，前门与后门§11-1变分法的预备知识数学上的变分法：求解泛函的极值方法（一般）弹性力学中的变分法：（具体）以能量为泛函，求能量泛函的极值方法，又称能量法。严格地，能量法与变分法不尽相同，变分法含义更广。关于变分法的若干基本概念：一、函数与泛函1、函数函数是实数空间到实数空间的映射2、泛函是函数空间到实数空间的映射（实例）例：设ｘ-ｙ面内有给定的两点Ａ和Ｂ，如图所示，连接这两点的任一曲线的长度为显然长度L依赖于曲线的形状，也就是依赖于函数y(x)的形式。因此，长度Ｌ就

4、是函数y(x)的泛函。一般情况下，泛函具有如下形式：二、函数的微分与变分1、自变量的微分dx2、函数的微分-因变量增量3、函数的变分-与微分对应，仍为函数注意到：与(*)式比较，可见：即：结论：导数的变分等于变分的导数，或变分记号与求导记号可以互换。三、泛函的变分一般情况下，泛函可写为：1、按照泰勒级数展开法则，被积函数f的增量可以写成上式中右边的前两项是f的增量的主部，定义为f的一阶变分，表示为2、再考察定义泛函I的变分结论：变分运算和积分运算可以交换次序与上式比较，可得：*导数的变分等于变分的导数四、

5、泛函的驻值与极值1、函数的驻值和极值---对比理解如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都不大于或都不小于y(x0)，即y(x)－y(x0)≤０或≥０（峰、谷）则称函数y(x)在x＝x０处达到极大值或极小值。极值的必要条件为极值必是驻值，但驻值不一定是极值。取极值的必要条件为，其充分条件由二阶导数来判定2、泛函的驻值和极值其中：五、欧拉方程与自然边界条件因为取驻值，所以为欧拉微分方程，可见上述泛函的驻值问题等同于欧拉微分方程边值问题的解。如果问题是：自变函数事先满足的边界条件称为本质边界条件。实例本

6、章学习重点：建立力学概念本章包含了非常多的力学概念，这些概念是有限元及其它力学分支中普遍用到的，需对其内涵有一定了解公式的推导、证明过程理解思路即可公式推导较多、较繁，但§11—2应变能与余应变能1.应变能---物体因变形而储存的能量。功和能的关系-热力学定律：可逆过程外力做功动能、应变能不可逆过程热能、声能耗散拉伸试样发热、与周围环境热交换声子振动、声波传播在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部

7、的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。弹簧准静态加载分析：从A状态到B状态外荷载做功的增量：弹性体应变能增量:对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律：热力学第一定律TheFirstLawofThermodynamics就是不同形式的能量在传递与转换过程中守恒的定律，表达式为Q=△U+W。表述形式：热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换，但在转换过程中能量的总值保持不变。---From百度百科“物理名词”连续介质力学广泛的应用热量与机械能的交换-蒸汽机有趣的发展历史：迈尔(医生

8、)、赫姆霍兹、焦耳微元体在某一应变状态获得的应变能增量为其中，为弹性体变形过程中的位移增量。利用高斯公式得：高斯公式考虑到应力张量的对称性，有应力张量对称性广义高斯公式哑标可交换定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能密度)为与前式有：得比较比较:此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有在状态的应变能密度为、为0~、的某个中