第3章 弹性力学经典变分原理

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1、第3章弹性力学经典变分原理3.1弹性力学基础3.1.1变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descarte坐标系做参照系，变形前物体的构形为B，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B’，取另一个Descartes坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为，变形后P变化到Q点在空间坐标系中的坐标为。图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ表示了质点P的

2、位移，记为。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量的分量可以用下式来表示(3.1.1)其中变形后质点的坐标与变形前的坐标存在着确定的关系。我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即(3.1.2)也可以用其逆变换(数学上要求Jacobi行列式不为零)来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标(3.1.3)如果把位移看作是变形前坐标、即物质坐标的函数(3.1.4)称之为Lagrange描述。如果把位移看作是变形后坐标、即空间坐标的函数(3.1.5)称之为Euler描述。我们取变

3、形前点及相邻，它们之间的长度平方为43(3.1.6)它们变形后相应的点及相邻，其长度平方为(3.1.7)根据变形前后的坐标关系有从而有(3.1.8)或者(3.1.9)如果定义(3.1.10)及(3.1.11)则有(3.1.12)(3.1.13)上述表达式中，有重复下标的，已省略了相应的求和记号，称为Einstein约定。我们称为Lagrange-Green应变张量(用Lagrange坐标系来描述)，把称作为Euler-Almansi应变张量(用Euler坐标系来描述)。如果我们在Lagrange坐标系中,沿着某一个特定的坐标方向取一

4、个微分单元,其变形前长度为而变形后的长度为因此，该微段变形前后的相对伸长量为(3.1.14)可见与线元的相对伸长有关。当时，。43如果在Lagrange坐标系中沿坐标轴方向取两个相互垂直的微元，分别为和，它们的长度分别为那么在变形后它们长度和分别为(3.1.15)(3.1.16)变形后两个微段对应向量的内积为(3.1.17)其中为变形后两个微段之间的夹角。所以(3.1.18)如果记变形前后两个微元之间夹角的变化（减少）为，也就是说(3.1.19)那么(3.1.20)当时，可以表示为(3.1.21)所以说，是与剪切变形有关的量。如果用

5、空间坐标系来描述变形，也就是说，位移矢量的分量用变形后的坐标来描述那么(3.1.22)在小变形情况下，如果忽略高阶小量后，那么有43(3.1.23)我们称之为Cauchy微小应变。在工程上描述的应变为，，，，把他们写成矩阵的形式为(3.1.24)也就是(3.1.25)其中式中代表梯度算子代表方向的单位向量。3.1.2应力分析43图3.2物体受力如图所示,通常作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，我们称之为面力(surfacetraction)；另一种是分布在物体体积

6、内部的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，我们称之为体力(bodyforce)。图3.3内力和应力当一个物体处于平衡状态时，假如我们设想从中分离出一部分B，其表面用S表示。S上任意一点Ｑ，其邻域面上作用的合力为，应力正应力剪应力截面上应力与截面法向有关。当取定坐标系统后,可以用每个坐标面上的沿坐标轴的三个应力分量来表示应力状态。根据剪应力互等定律,其中独立的分量有6个,我们记为应力张量(满足坐标变换规律),(3.1.26)应力的符号规则:外法线方向与坐标轴方向一致的截面上,沿坐标轴正方向的应力为正,沿坐标轴负方向的应力为负；反之,

7、外法线方向与坐标轴方向相反的截面上,沿坐标轴正方向的应力为负,沿坐标轴负方向的应力为正。3.1.3截面上应力在某一个外方向的截面上，根据力的平衡关系，截面上应力沿三个坐标轴上的应力分量为也就是说43图3.4应力张量与截面上应力写成矩阵形式为(3.1.27)也就是说(3.1.28)式中就是将中的梯度矢量替换成截面的法向单位矢量，即(3.1.29)3.1.4平衡方程应力分量在物体内部的平衡方程为(3.1.30)写成分量的形式为43其中分别是体积力在轴上的分量。如果把平衡方程表示成矩阵的形式为也就是(3.1.31)式中3.1.5应变能、余

8、应变能及应力与应变关系物体发生弹性变形时，外力所做的功等于物体中所储存的应变能。而这种应变能与物体的变形过程无关，只同物体的最终变形状态有关，也就是说只与最终的应变有关。我们在物体中隔离出一个微元。该微元上的应变分量为，作用微元表面上