王振发版-分析力学-课件-第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程.pptx

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1、第二章动力学普遍方程和拉各朗日方程1.动力学普遍方程2.拉格朗日方程3.动能的广义速度表达式4.拉格朗日方程的初积分5.碰撞问题的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的应用举例引言1：非自由质点系的动力学问题φ1φ2摆长不定，如何确定其摆动规律？K混沌摆问题多杆摆问题引言2：惯性力的概念达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题）；约翰·伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理（建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的平衡问题）；拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广到

2、非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进一步导出了拉格朗日方程。vPMlφ其加速度为令R=P+T则ma=R=P+T摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体（地心和绳子）一对应的反作用力，反作用力的合力为TR'=－R=－ma此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”，称为惯性力。anφφφPTPTPTananan图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2φ，摆锤M受力如图。RvRvRvR结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘积，方向与其加速度方向相反。若用Fg表示惯性力

3、，则有Fg=－ma说明：1.此力是不是真实的力！2.此力作用于施力给质点的物体上！3.此力又称为牛顿惯性力！引言3：达朗伯原理一、质点的达朗伯原理设质点M的质量为m，受力有主动力F、约束反力FN，加速度为a，则根据牛顿第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma=F+FNFg=－ma令则F+FN+Fg=0形式上的平衡方程结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。二、质点系的达朗伯原理设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，受力有主动力Fi，约束反力FNi，加速度为a

4、i，假想地加上其惯性力Fgi=－miai，则根据质点的达朗伯原理，Fi、FNi与Fgi应组成形式上的平衡力系，即对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式上的平衡力系。Fi+FNi+Fgi=0（i=1，2，…，n）∑MO(Fi)+∑MO(FNi)+∑MO(Fgi)=0∑Fi+∑FNi+∑Fgi=0质点系的达朗伯原理即或1.动力学普遍方程动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上其惯性力Fgi=－miaiFiFNiFg

5、iaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi则根据达朗伯原理，Fi、FNi与Fgi，应组成形式上的平衡力系，即Fi+FNi+Fgi=0若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有或动力学普遍方程表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和等于零。则动力学普遍方程的坐标分解式为若例1.两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为α的斜面上纯滚动。求连杆的加速度。α研究整个系统，进行受力分析；解：设杆的加速度为a，则αm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgas

6、m2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasFg1=m1a，Fg2=m2a，给连杆以平行于斜面向下的虚位移s，则相应地两轮有转角虚位移，且根据动力学普遍方程，得:于是解得(a)(b)2.拉格朗日方程将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉格朗日方程。n个质点的系统受到k个如下形式的完整约束fi,又若系统中质量为mj的第j个质点受主动力Fj，则系统的运动满足3n个方程如左，称为第一类拉格朗日方程，λi称为拉各朗日未定乘子。*第一类拉格朗

7、日方程用到的较少拉格朗日1736—1813,法籍意大利人，数学家、力学家、天文学家，十九岁成为数学教授，与欧拉共同创立变分法，是十八世纪继欧拉后伟大的数学家。设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi，矢径为ri。则ri=ri(q1，q2，…qN，t)对上式求变分得动力学普遍方程可写成其中根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式