极坐标和参数方程-一轮复习.doc

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1、教学内容【知识结构】知识点一：极坐标1．极坐标系　　平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。　　2．极坐标系内一点的极坐标　　平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对　　就叫做点的极坐标。　　3.极坐标与直角坐标的互化　　当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：　　直角坐标化极坐标：；　　极坐标化直角坐标：.　　此即在两个坐标系下，同一

2、个点的两种坐标间的互化关系.知识点三：参数方程　　1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：　　，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数-17-叫做参变数（简称参数）.　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。知识点四：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程　　（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：　　　　（为参数）；　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的

3、距离。（当在上方时，，在下方时，)。　　（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：　　　　（为参数，为为常数，）；　　　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2．圆的参数方程　　（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：　　　　（是参数，）；　　　　特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。　　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。　　　　　　　　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数

4、方程-17-　　（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。　　（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。　　　　如图中，点对应的角为（过作轴，　　　　交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。　　（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。　　　　椭圆上任意一点可设成，　　　　为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4.双曲线的参数方程　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。　5.抛物线的参数方程　　抛物线()的参数方程为（是参数）。　　参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。【例题精讲】类型一

5、：极坐标方程与直角坐标方程　　例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，　　思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。　　解析：它们依次是或；；（）.　　　　　示意图如下：　　总结升华：-17-应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。　　举一反三：　　【变式】已知点，则点　　　　　（1）关于对称点的坐标是_______，　　　　　（2）关于直线的对称点的坐标为________　。　　【答案】　　

6、(1)由图知：,，所以；　　(2)直线即，所以或（）　　例2.化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。　　(1)；　　　　(2)；　　(3)；　　　　(4).　　思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。　　解析：　　（1）方程变形为,　　　　　∴或，即或，　　　　故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。　　(2)变形得,即，　　　故原方程表示直线。　　(3)变形为,即，　　　　整理得-17-，　　　　故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。　　（4）变形为,　　　　　∴,即,　　　　故原方程表示顶点在

7、原点，开口向上的抛物线。　　总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。　　举一反三：　　【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.　　　　　　(1)；　　(2),其中；　　　　　　(3)　　　(4)　　【答案】：　　(1)∵，∴即,　　　　故原方程表示是圆.　　(2)∵,∴，　　　∴，∴或，　　　　∴或　　　　故原方程表示圆和直线.　　(3)由，得即，整理得　　　故原方程表示抛物线.　　(4)由得-17-,　　　　∴，即　　　　故原方程表示圆.　　【变式2】圆的直

8、角坐标方程化为极坐标方程为_______________.　　【答案】将代入方程得.　　例3.求适合下列条件的直线的极坐标方程：　　（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。　　思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点