极坐标和参数方程(罗)

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1、1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表

2、示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。5.极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜

3、或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．6.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴⑵⑶⑷⑸⑹在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.7.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴⑵⑶⑷⑸⑹8.极坐标与直角坐标互化公式：9.8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方

4、程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9．圆的参数方程可表示为.椭圆的参数方程可表示为.抛物线的参数方程可表示为.　经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y

5、）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：　　（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．．线段AB的中点所对应的参数值等于．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：　　（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴

6、（或y轴）上的椭圆：　　　　（为参数）　　（或　）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：　　　　（为参数）　　（或　）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：　　（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）．1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数

7、方程是(t不参数)②在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是｜t｜.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P

8、所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数)φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆(a＞b＞0)的参数方程是(φ为