信号与系统412双边拉普拉斯变换.ppt

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1、4.12双边拉普拉斯变换在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。1、双边拉普拉斯变换的定义是一个双边函数，可将其分解为右边函数和左边函数之和则有若、同时存在，且二者有公共收敛域，则的双边拉氏变换为右边函数的拉氏变换和左边函数拉氏变换之和。如与没有公共收敛域，则的双边拉氏变换就不存在。2、如何求左边函数的拉氏变换令，则上式成为再令，则上式成为综上所述，求取左边函数的拉氏变换可按下列三个步骤进行：（1）令，构成右边函数；（2）对求单边拉氏变换得；（3）对复变量取反，即，就求得。例1求

2、双边指数函数，的双边拉普拉斯变换。解：首先求右边函数的拉氏变换左边函数的拉氏变换求取如下：（1）；（2）（3）因为，所以和有公共收敛域，故存在并为二.双边拉普拉斯反变换例2求，的时间原函数。收敛域分别为（1）（2）（3）解：（1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为，右侧极点为。左侧的极点对应于的右边函数将展开成部分分式有右侧的极点对应于的左边函数对应于的是左边函数，的求取如下①令，得；②对求单边拉氏反变换，得③令，即最后得其解为三.双边信号作用下线性系统的响应例3已知激励信号，系统冲激响应为，求系统的响应。解：由双边拉氏变换有而可见，与有公共收敛域，故存在，

3、则有由收敛域可知，为右侧极点，对应的左边时间函数为均为右侧极点，对应的右边时间函数为故系统的响应例4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系若信号是有始信号，可从已知的单边拉氏变换求傅氏变换双边拉氏变换单边拉氏变换傅氏变换收敛边界落于s平面右半边单边拉氏变换收敛域对应增长函数的情况不存在傅氏变换收敛边界落于s平面左半边对应衰减函数的情况存在傅氏变换收敛边界位于虚轴对应阶跃函数或等幅振荡函数的情况存在傅氏变换若收敛边界位于虚轴，则极点均在左半平面和虚轴上1.若虚轴只有单极点例2.若虚轴有多重极点例