信号与系统_第五章 拉普拉斯变换.ppt

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1、信号与系统SignalsandSystems中国民航大学倪育德第5章拉普拉斯变换SignalsandSystems5.1拉普拉斯变换的定义和收敛域5.2典型信号的拉普拉斯变换5.3拉普拉斯变换的基本性质5.4拉普拉斯反变换5.5拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系5.6连续时间系统的复频域分析5.7系统函数5.8周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换5.1拉普拉斯变换的定义和收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（1）当函数f(t)满足Dirichlet条件时，便可构成一对傅里叶变换:傅立叶正变换：傅立叶反变换：狄里赫莱条件是充分不必要条

2、件f(t)=eatu(t)(a>0)的傅里叶变换？不存在!f(t)=u(t)的傅里叶变换？存在!中国民航大学CAUC5.1拉普拉斯变换的定义和收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（2）f(t)=eatu(t)(a>0)的傅里叶变换？不存在!将f(t)乘以衰减（收敛）因子e-t（为实数）若中国民航大学CAUC5.1拉普拉斯变换的定义和收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（3）推广到一般情况令s=+j定义：对f(t)e-t求傅里叶反变换可推出双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯反变换中国民航大学CAUC5.1拉普拉斯变

3、换的定义和收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（4）拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示物理意义信号f(t)可分解成复指数est的线性组合F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数，称为复频率，F(s)称复频谱。中国民航大学CAUC5.1拉普拉斯变换的定义和收敛域一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（5）关于积分下限的说明：积分下限定义为零的左极限，目的在于：分析和计算时可以直接利用给定的起始0-状态；可把f(t)在t=0时刻出现的冲激包含到积分中去。单边拉普拉斯变换中国民航大学CAUC5.1拉普拉斯变换的定义和

4、收敛域二、拉普拉斯变换的收敛域（1）对于函数f(t)，若当0时,则f(t)e-t在0的全部范围内收敛，其积分存在，f(t)可以进行拉氏变换。0所定义的s平面范围称为F(s)的收敛域。对单边拉氏变换，一般对F(s)的收敛域不给标注，因为这时F(s)与f(t)是一一对应的。中国民航大学CAUC5.1拉普拉斯变换的定义和收敛域二、拉普拉斯变换的收敛域（2）>0称收敛条件收敛域j00称（绝对）收敛坐标S平面右半平面左半平面0收敛轴[例]f(t)=eat,a0,F(s)=L[f(t)]，求F(s)的收

5、敛域。中国民航大学CAUC5.2典型信号的拉普拉斯变换一、指数函数e-at（a为实数或复数）二、单位阶跃函数u(t)中国民航大学CAUC5.2典型信号的拉普拉斯变换三、余弦信号cos0t四、正弦信号sin0t中国民航大学CAUC5.2典型信号的拉普拉斯变换五、衰减余弦信号e-atcos0t六、衰减正弦信号e-atsin0t中国民航大学CAUC5.2典型信号的拉普拉斯变换七、单位冲激信号(t)八、tn（n为正整数）根据以上推理,可得中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性(叠加)特性若则二、尺度特性若

6、则思考:若f(t)为因果信号，a0，则L[f(at)]=?a0中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质三、时移特性（1）若则t00注意:1)拉氏变换、傅氏变换的“时移特性”的区别2)在拉氏变换中，信号f(t)延时t0应表示为f(t-t0)u(t-t0)，而不是f(t-t0)、f(t-t0)u(t)、f(t)u(t-t0)。3)t00中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质三、时移特性（2）[例]试求如图所示信号f(t)的单边Laplace变换。f(t)EtT0[例]已知L[f(t)]=F(s)，求L[

7、f(at-t0)u(at-t0)]，a0，t00。[例]解:中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质[例]求图示信号的拉氏变换。三、时移特性（3）解:中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质四、频移特性若则[例]求e-atsin0t和e-atcos0t的Laplace变换。解:中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质五、时域微分特性（1）若则式中，f(0-)及f(k)(0-)分别表示在t=0-时f(t)及f(k)(t)的值。思考:中国民航大学CAUC5.3拉普拉斯变换的基本性质五、时域微分特性

8、（2）时域微分特性的特点它能将时域中的微分运算化为s域中的乘法运算，因此它就可将微分方程变换为s域中的代数方程；微分特性在将时域中的微分运算化为s域中的乘法运算的变换式中，自动引入了起始状态f(0-)，这就避免了在系统分析中由f(0-)求f(0+)这一步，使我们可直接利用已知的f(0-)条