信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析.ppt

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1、第四章连续时间信号与系统的复频域分析在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法分析信号与系统的频域特性。傅里叶分析法带来的好处建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱分布、带宽等频域特性。可以得到系统在频域的系统函数，方便理解系统的传输特性，同时易于求取系统的零状态响应。0ω1ω2ω10ω1ω2时域分析方法对于复杂的系统只能求得结果，不能从物理概念上解释为什么得到这种响应，从而在系统分析、设计和调整上遇到困难。傅立叶分析法可以从频谱的观点说明激励与响应之间的差异情况，物理概念清楚，方便系统分析

2、、设计和元件参数调整。例如：有科学家在应用傅里叶分析法求响应时，觉得对具有初始条件的系统问题，不能利用傅里叶变换求得系统的完全响应。一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶变换，如，而不能用傅里叶分析法分析。这个科学家就是法国的拉普拉斯，他希望能解决上面问题，然后提出了新的变换方法，被称为拉普拉斯变化法。本章即学习和研究用拉普拉斯变换分析法分析信号与系统。主要内容：由傅里叶变换导出拉普拉斯变换。讨论拉普拉斯变换的基本性质和常用信号的拉普拉斯变换对。讨论线性系统的拉普拉斯变换分析法，并运用该分析法分析线性系统。

3、§4.1拉普拉斯变换§4.2拉普拉斯变换的性质§4.3拉普拉斯反变换§4.4连续时间系统的复频域分析§4.5系统函数§4.6系统函数及其零、极点分布与系统的时域和频域特性§4.7双边拉普拉斯变换§4.8连续时间系统的s域模拟§4.9系统的稳定性内容回顾本章内容安排作业4.1(1)(5)、4.2(2)(4)(6)、4.44.8(2)(4)(10)、4.6(1)(2)、4.9(1)(2)4.10(1)(3)(4)、4.11(1)、4.134.15、4.19(1)、4.354.1拉普拉斯变换laplacetransfor

4、m1从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数满足狄里赫利条件时，可构成一对傅里叶变换：绝对可积极值数目有限有限个间断点很多信号因为不满足绝对可积，不存在傅里叶变换。为使更多的函数存在变换，引入一衰减因子与相乘，使满足绝对可积，求其傅里叶变换：积分变换式须有严格的数学证明，不能随意给出，下面由傅里叶变换式推导拉普拉斯变换式。与比较，　显然由傅立叶反变换令则通过积分变换，将自变量为t的函数变成自变量为s的函数通过积分变换，将自变量为s的函数变成自变量为t的函数由此得到双边拉普拉斯变换：（拉普拉斯正变换）（拉普拉斯逆变换）可能包

5、含有冲激函数及其导数项，取积分的下限为。实际应用中的大都是有始信号，并考虑到信号在t=0时刻得到单边拉普拉斯变换：如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。通常表示为：或原函数象函数在傅立叶反变换中，时间函数分解为无穷多项ω的指数函数之和。拉氏变换可以理解为一种广义的傅立叶变换，扩展为复变量s的复指数函数，即将时间函数看成无穷多项的叠加。σ表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。傅立叶变换将时间函数变换为频域函数拉斯变换将时间函数变换为复变

6、函数拉普拉斯变换的理解才得到拉普拉斯变换式，所以，拉普拉斯变换存在的充要条件是：或2拉普拉斯变换的收敛域在前面的讨论中，引入一衰减因子，使满足绝对可积，f(t)不同，则满足条件的σ不同使满足绝对可积条件的的取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域。定义：若时，比如：的拉普拉斯变换的收敛域为绝对可积，则，根据的值可将s平面划分为两个区域：称为收敛坐标。称为收敛轴（收敛域的边界）收敛轴0非收敛区收敛区例4.1求函数的拉氏变换的收敛域。解：无论取何值，被积函数均收敛。所以其收敛域为整个S平面。推广：任何时限有界的函数，其拉氏变换

7、的收敛域就是整个S平面。即例4.2求函数的拉氏变换的收敛域。解：即，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。下面讨论一些典型函数拉普拉斯变换的收敛域时，例4.3设函数,；,。求它们的双边拉氏变换和，并画出各自的收敛域。解：根据定义同理的收敛域的收敛域虽然有相同的和表达式，但由于收敛域的不同，而表示了完全不同的函数。所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。由绝对可积条件，因此收敛域为，由绝对可积条件，因此收敛域为，为什么要讨论收敛域？对于某个信号，只要能够找到收敛坐标，就存在拉普拉斯变换。如果找不到收敛域

8、，则该信号不存在拉普拉斯变换。对于单边拉斯变换，不会存在拉斯变换对不是唯一对应，可以不标收敛域；双边拉斯变换的收敛问题比较复杂，会出现不同的原函数的像函数是一样的，需要标注收敛域。严格来讲，求拉氏变换时，应同时给出收敛域。3.1单位冲激函数即3.2单位阶跃函数即3常用信号的拉普拉斯变换3.3指数信号即而傅立叶变换中由于有些信号不满足绝对可积条件，频谱函数中含