信号与系统第九章 拉普拉斯变换.ppt

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1、第9章拉普拉斯变换THELAPLACETRANSFORM4.双边拉普拉斯变换的性质；1.双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；5.单边拉普拉斯变换；3.零极点图；2021/8/89.0引言傅里叶变换是以复指数函数的特例　和为基本分解信号。对更一般的复指数函数和，也能以此为基本信号对信号进行分解。复指数函数是一切LTI系统的特征函数。相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变换）就是本章要讨论的中心问题。拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于傅里叶

2、分析方法不适用的许多方面。拉普拉斯分析是傅里叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。2一.双边拉氏变换的定义：其中若，则有:这就是的傅里叶变换。连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在(s平面的轴)上的特例。FT:实频率，是振荡频率LT:复频率，是振荡频率，控制衰减速度9.1拉普拉斯变换S平面3由于拉氏变换是对傅里叶变换的推广，　的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。不满足狄里赫利条件的信号u(t)增长信号乘一衰减

3、因子后收敛（满足狄里赫利条件）4例1.当时，的傅里叶变换存在:显然，在时，拉氏变换收敛的区域为，包括了（即轴）。在时，积分收敛：比较和,显然有:5当时，可知例2.与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。不包含轴，所以不能得出u(t)的傅里叶变换为在时，积分收敛：6几点结论：1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是s平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数s的集合，称为拉氏变换的收敛域(ROC)。收敛域对拉氏变换是非常重要的概念。3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换

4、的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。4.如果一个信号的拉氏变换的ROC包含轴，则信号的傅里叶变换也存在，并且：7二.拉氏变换的ROC及零极点图：例3.8可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的分母的根(极点)相对应。极点零点9分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。将的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个，最多与真实的相差一个常数因子。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。若是有理函数109.2拉氏变换的收敛域2.在ROC内无任何极点。1.

5、ROC是s平面上平行于轴的带形区域。4.右边信号的ROC位于s平面内一条平行于轴的直线的右边。5.左边信号的ROC位于s平面内一条平行于轴的直线的左边。3.时限信号的ROC是整个s平面。6.双边信号的ROC如果存在，一定是s平面内平行于轴的带形区域。11若，则表明也在收敛域内。若是右边信号,,在ROC内，则有绝对可积，即：性质4的证明：12例1.考查零点，令有极点显然在也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。得（k为整数）13当时，上述ROC有公共部分，当时，上述ROC无公共部分，表明不存在。例2.当是有理函数时，其ROC总是由的极点分割的。ROC必然

6、满足下列规律：3.双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带形区域。2.左边信号的ROC一定位于最左边极点的左边。1.右边信号的ROC一定位于最右边极点的右边。15例3.可以形成三种ROC：ROC：ROC：ROC：此时是右边信号。此时是左边信号。此时是双边信号。16对有理函数形式的求反变换一般有两种方法,即部分分式展开法和留数法。1.将展开为部分分式。部分分式展开法：3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。2.根据的ROC，确定每一项的ROC。9.3拉普拉斯反变换的求法17极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。例1.右边信号左边信号双边信号

7、18例2.思考题：对于本例中的X(s),若收敛域分别为：(a)Re[s]>-1;(b)Re[s]<-2,求这两种情况下的x(t)？12ROC1、ROC2必须各自包含ROC19可以用零极点图表示的特征。当ROC包括　　轴时，以代入，就可以得到。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。9.4由零极点图对傅里叶变换几何求值（一般了解即可）201.单零点情况：矢量称为零点矢量，它的长度表示,其幅角即为。0零点,要求出时的，可以作两个矢量和，则。21极点直接由极点向点作矢量（称为极点矢量），其长度的