应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计40.doc

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1、教师课时授课计划教师姓名课程名称应用数学授课时数2累计课时授课日期星期节次授课班级课题M4-5曲线的凹凸与拐点知识目标理解曲线的凹凸性的判别方法技能目标会判别曲线的凹凸性态度目标能用严谨的态度来学习曲线的凹凸与拐点教学重点曲线的凹凸的判定教学难点曲线的凹凸的判定教学资源无参考书《高等数学》——同济四版作业教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课程引入求极值点的方法这一讲我们研究曲线的弯曲方向提问启发10’知识讲解1、曲线的凹凸的概念2、曲线的凹凸的判定3、拐点的定义及求法4、曲线的渐进线启发式65’课堂实战曲线的凹凸的判定15’课后点评对学生的课堂练习进行点评总结5’

2、课后小记4一、课程引入要想较准确地描绘函数的图形，仅知道的单调性和极值是不够的，还需要进一步研究曲线的凹凸性．二、知识讲解1、曲线的凹凸的概念定义2在开区间内，如果曲线上每一点处的切线都在它的下方，则称曲线在内是凹的，称为曲线的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线在内是凸的，称为曲线的凸区间．2、．曲线的凹凸的判定定理6设函数在内具有二阶导数．（1）如果在内，，那么曲线在内是凹的；（2）如果在内，，那么曲线在内是凸的．例1判定曲线的凹凸性．解（1）函数的定义域为；（2），；（3）令，得；（4）列表考察（表中“”表示曲线是凸的，“”表示是凹的）；+－+曲线

3、（5）由上表可知，曲线在内是凸的，在和内是凹的．3、拐点的定义及求法定义3连续曲线上凹曲线和凸曲线的分界点称为曲线的拐点．由例1可知，曲线的拐点均为和．注：（1）在拐点处，函数的二阶导数为零或不存在．（2）拐点是指曲线上的点，而不是轴上的点．例2求曲线的凹凸区间和拐点．解（1）函数的定义域为；（2），；4（3）令，得；（4）列表考察－+曲线拐点（5）由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点为．例3求曲线的凹凸区间和拐点．解（1）函数的定义域为；（2），；（3）是使不存在的点．（4）列表考察+不存在－曲线拐点（5）由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点

4、为．例4判断曲线是否有拐点？解（1）函数的定义域为．（2），．xOy=(2x–1)2+1图4-13y112O（3）令，得．（4）因为当时，恒为正数，也就是说在点的左、右近旁，的符号相同，都是正的，因此点不是曲线的拐点．事实上，在整个定义域内曲线是凹的，所以它没有拐点（如图4-13）．4、曲线的渐进线先看下面的例子：（1）当时，曲线无限接近于直线；4当时，曲线无限接近于直线．（2）当时，曲线无限接近于直线．一般地，对于具有上述特性的直线，我们给出下面的定义：定义4如果当自变量（有时仅当或）时，函数以常量为极限，即，那么直线叫做曲线的水平渐近线．例如，因为，，所以直线和是曲线

5、的两条水平渐近线．定义5如果当自变量（有时仅当或）时，函数以无穷大为极限，即，那么直线叫做曲线的垂直渐近线．例如，因为，所以直线是曲线的垂直渐近线．例5求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线．（1）；（2）．解（1），因为,所以是曲线的水平渐近线．（2），因为，所以直线是曲线的垂直渐近线．又因为，所以直线是曲线的水平渐近线．三、课堂实战1、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）（2）2、求下列曲线的渐近线：（1）（2）4