应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计56.doc

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1、教师课时授课计划教师姓名课程名称应用数学授课时数2累计课时授课日期星期节次授课班级课题M6-1定积分的概念和性质知识目标掌握定积分的概念与性质掌握用定积分的定义求简单的定积分技能目标会用定积分的定义求简单的定积分态度目标培养学生的推理论证能力培养学生数形结合的思想及归纳总结的能力教学重点将曲边梯形的面积用定积分表示教学难点定积分定义的理解教学资源三角板参考书《高等数学》——同济四版作业教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课程引入1、曲边梯形的面积问题2、变速直线运动的路程提问5’知识讲解1、两个实际案例2、定积分的

2、定义3、定积分的几何意义4、定积分的基本性质启发式60’课堂实战定积分的性质20’课后点评定积分的性质5’课后小记6a=x0xn=bxx1x2xi-1xn-1xiyOξ1ξ2ξiξny=f(x)图6-1一、课程引入所谓曲边梯形是指由连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的图形．其底边所在的区间是[a，b]，如图6-1所示．如何求其面积呢？二、新课讲解1、两个实际案例1）曲边梯形的面积下面我们将采取“化整为零”、“积零为整”的方法来计算曲边梯形的面积S．具体分为四个步骤：（1）分割底边所在的区间[a,b]在区

3、间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

4、xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，用ξi点的高f(ξi)近似代替第i个小底边区间[xi-1,xi]上各点处的高，即用以第i个小区间[xi-1,xi]（长为Δxi）为底，f(ξi)为高的小矩形的面积来近似代替同一底[xi-1,xi]上的第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈f(ξi)Δxi．(3)求和将n个小矩形面积相加，便得所求曲边梯形的面积S的近似值即．（4）求极限从直观上看，分点越多，即分割越细，就越接近于曲边梯形的面积S．因此若用‖Δxi‖表示被分割的n个小区间中最大的小区间的长度，则当‖6Δxi‖趋向于零

5、时，和式的极限就是S，即,可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限．2）变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间区间[a,b]上的一个连续函数，且v(t)≥0，求在这段时间内物体所经过的路程s．我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程=速度×时间，但现在速度不是常量而是随时间变化的变量，因此所求路程不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．，可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限．2、定积分的定义定义1设函数y=f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

6、…

7、在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，上面的和式均有极限，那末我们称这个极限为函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为，即．6其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a、b分别叫做积分下限与积分上限，[a,b]叫做积分区间．如果定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积．利用定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表述如下：曲边梯形的面积S等于其曲边函数y=f(x)在其底边所在的区间[a,b]上的定积分：．变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=

8、v(t)在时间区间[a,b]上的定积分：．3、定积分的几何意义定积分的几何意义为：它的数值可以用曲边梯形的面积的代数和来表示．例1利用定积分表示图5—6中四个图形的面积：解图(1)中的阴影部分的面积为；xOay=x2(1)xO2–1y=x2(2)yy图5-4y=(x-1)2-1Ox–12(3)xabOy=1(4)yy