应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计30.doc

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1、教师课时授课计划教师姓名课程名称应用数学授课时数2累计课时授课日期星期节次授课班级课题M3-5微分的概念及运算方法知识目标理解掌握微分的概念掌握微分公式与微分法则技能目标会求给定函数的微分态度目标培养学生推理论证能力，培养学生灵活运用知识的能力教学重点微分与导数的关系教学难点微分的计算教学资源无参考书《高等数学》——同济四版作业教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课程引入加热正方性形金属薄片启发式15’知识讲解1、微分的概念2、微分的几何意义3、微分公式和微分运算法则4、微分的计算启发式45’课堂实战

2、求给定函数的微分20’课后点评对学生所做练习给出点评10’课后小记4一、课程引入引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到，问此薄片的面积改变了多少？二、知识讲解1、微分的概念定义5设函数在点的某一邻域内有定义．如果函数的增量可以表示为，其中不依赖，而是比高阶的无穷小，则称函数在点可微，且称为函数在点相应于自变量增量Δx的微分，记作，即．下面讨论函数可微的条件定理5函数在点可微的充分必要条件是它在点可导．证先证必要性．设在点可微，那末按定义有,在等式两边除以Δx，得,因此，极限存在，即在点x可导

3、，且．由定理的必要性证明可见，当在点可微时，其微分可表示为,例1求函数y=x3的微分．解dy=dx3=(x3)/Δx=3x2Δx．例2已知，，，求．解因为y/=(xsin2x)/=sin2x+2xcos2x，所以dy=y/Δx=(sin2x+2xcos2x)Δx,从而．通常把自变量x的增量Δx称作自变量的微分，记作dx，即dx=Δx,于是函数y=f(x)的微分又可记为dy=f/(x)dx,4从而有,这说明函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数．因此，导数又叫做微商．2、微分的几何意义x0xOΔ

4、xNTM图3-6PΔyx0+ΔxQαyy=f(x)dy设点和点是曲线上的两点，如图（3-6）所示．从图中可以看出：,设切线MT的倾斜角为，则．因此，函数在点处的微分，在几何上表示曲线在点M处的切线MT的纵坐标的增量．3、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1）基本初等函数的微分公式2）函数的和、差、积、商的微分法则（1）；（2）；（3）；（4）．3）复合函数的微分法则4、微分的计算例2求的微分．解一．解二．例3求的微分．解．例4在下列等式左边的括号中填入适当的函数，使等式成立（1）；（2）．4解（1）由于，

5、所以，于是（为任意常数）．（2）由于，所以，于是（为任意常数）．三、课堂实战1、求下列函数的微分：（1）（2）（3）（4）2、将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．4