应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计64.doc

《应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计64.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、教师课时授课计划教师姓名课程名称应用数学授课时数2累计课时授课日期星期节次授课班级课题M6-5利用定积分计算面积和体积的方法知识目标了解定积分的元素法在计算平面图形面积与空间图形的体积中的运用技能目标会用元素法计算平面图形的面积与空间图形的体积态度目标培养学生数形结合解决相关问题培养学生分析，解决问题的能力教学重点面积元素及体积元素的计算教学难点求面积元素及体积元素的技巧教学资源三角板参考书《高等数学》——同济四版作业教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课程引入实例：求由椭圆绕x轴旋转一周所成

2、椭球的体积提问5’知识讲解1、定积分的元素法2、利用元素法计算平面图形的面积3、利用元素法计算空间图形的体积启发式60’课堂实战面积元素及体积元素的计算20’课后点评面积元素及体积元素的计算5’课后小记4一、课程引入实例：求由椭圆绕x轴旋转一周所成椭球的体积二、新课讲解1、定积分的元素法用元素法解决总量A的“累计求和”问题的步骤为：（1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间［a,b］；（2）设想把区间［a,b］分成n个小区间，任取其中任一个小区间并记作［x,x+dx］

3、，求出相应于这个小区间的部分量ΔA的近似值，如果ΔA能近似地表示为［a,b］上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积（这里ΔU与f(x)dx相差一个比dx高阶的无穷小），就把f(x)dx称为量U的元素且记为dA，即dA＝f(x)dx；（3）以所求量A的元素f(x)dx为被积表达式，在区间［a,b］上作定积分，得A＝．这就是所求总量A的定积分表达式．这个方法通常叫做元素法,以下我们将应用这个方法来讨论几何、物理中的一些问题．2、平面图形的面积xbOay=g(x)图6-15xx+dxyy=f(x)

4、设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续且f(x)≥g(x)，求由曲线y=f(x)，y=g(x),直线x=a，x=b所围图形的面积，如图6-15所示．（1）取x为积分变量，且x∈[a,b]；（2）在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]，与[x,x+dx]对应的小窄条面积近似于高为f(x)–g(x)，底为dx的窄矩形的面积，故面积元素为dA=[f(x)–g(x)]dx；（3）作定积分．（6-12）(1,1)图6-16xx+dxxxO1y=x2y图6-17xdyOcx=φ2(y)x=φ1(y)yy+

5、dy例1计算由两条抛物线：y2=x、y=x2所围成的图形的面积．4解如图6-16所示．解方程组，得两抛物线的交点为（0，0）和（1，1）．由（6-9）式得=．同理，如图6-17所示，设x=ф1(y)、x=ф2(y)在[c，d]上连续且ф1(y)≤ф2(y)，y∈[c，d]，则由曲线x=ф1(y)、x=ф2(y)和直线y=c，y=d所围图形的面积为．（6-13）例2计算抛物线与直线所围成的图形的面积．y=x–4Ox(2,–2)(8,4)y2=2xy+dyy图6-18y解如图6-18所示，解方程组得抛物

6、线与直线的交点（2，–2）和（8，4），由公式（6-10）得．若用公式（6-12）来计算，则要复杂一些．读者可以试一试，你可以发现积分变量选得适当，计算会简便一些．图6-19xOxx+dxaby=f(x)y3、旋转体的体积设函数y=f(x)≥0，x∈[a，b]，求由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，如图6-19任取x∈[a，b]，用过点x且垂直于x轴的平面去截旋转体，则截面为圆．这个截面圆的面积为A(x)=πy2=πf2(x)，代入公式（6-1

7、2），得旋转体体积为4．（6-14）同理，设函数x=φ(y)≥0，y∈[c，d]，由曲线x=φ(y)，直线y=c，y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为．（6-15）例6求椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积．解如图6-21所示，旋转体是由曲边梯形BAC绕y轴旋转而成．曲边BAC的方程为图6-21OAxByＣa-a-bb（x>0，y∈[–b，b]），代入公式（6-14），得＝＝＝＝．三、课堂实战1．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）y=1–x2，y=0；（2）与直线及；（3

8、）y=ex，y=e–x与直线x=1；2．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）2x–y+4=0，x=0及y=0，绕x轴；（2）y=x2，x=y2，绕y轴；4